Estrategia de Haz 24: cuatro números, tres pasos y fracciones exactas (2026)

1. La biblioteca: 36 puzles congelados, 577 caminos de solución

Haz 24 te da cuatro números enteros y un objetivo: dejar una sola ficha que lea exactamente 24. La biblioteca está congelada en 36 puzles, doce por tramo y numerados del 1 al 36.

Un camino de solución es una secuencia completa de tres fusiones que termina en 24; los recuentos son exactos, no estimaciones. Los doce puzles fáciles tienen al menos 39 caminos cada uno, por eso se sienten indulgentes. El tramo difícil tiene solo 34 caminos en total entre sus doce puzles, y tres puzles de toda la biblioteca tienen exactamente un camino: #19 (medio, 3 5 7 13), #25 (difícil, 1 3 4 6) y #26 (difícil, 2 3 5 12). En esos, cualquier fusión que no esté en el camino deja el puzle sin solución: Deshacer no es una comodidad, es la diferencia entre terminar y reiniciar.

Nada se genera en tiempo de ejecución. Cada puzle se verificó sin conexión con el mismo conjunto exacto de movimientos que juegas, y el número de soluciones que trae la biblioteca se volvió a derivar en esta sesión.

2. Un movimiento es una fusión: los tres hechos que lo deciden todo

1. Un movimiento toma dos fichas, aplica un operador y deja un resultado. Por eso cuatro números siempre piden exactamente tres fusiones. No hay forma de usar un número dos veces ni de terminar en dos movimientos.
2. La primera ficha que eliges es el operando izquierdo. Elegir 8, luego 3 y pulsar menos calcula 8 − 3 = 5; elegir 3 primero da 3 − 8 = −5. A la suma y al producto les da igual el orden; a la resta y a la división no. La sección 8 muestra por qué esto decide más puzles de lo que parece.
3. Solo dividir entre cero es ilegal. Los resultados negativos y las fracciones son legales y se conservan exactos: 8 ÷ 3 sigue siendo 8/3, nunca 2,666…, y el solucionador razona con el mismo valor exacto. No hay redondeo que haga pasar una respuesta casi correcta.

Como una fusión puede expresar cualquier agrupación con paréntesis —las tres fusiones son un árbol binario sobre los cuatro números—, nunca necesitas un botón de paréntesis. La pregunta interesante nunca es «cómo lo escribo», sino «qué pareja fusiono, en qué orden y con qué operador».

El registro de fusiones aparece sobre las fichas. Léelo antes de pulsar Deshacer: te dice qué valor salió de qué pareja, y con eso normalmente se ve en qué paso se torció la posición.

3. El tramo es un hecho sobre las soluciones, no una puntuación

Los tres tramos no son un control de dificultad. Cada uno es una afirmación sobre lo que pueden contener las soluciones de ese puzle, y la biblioteca publicada la cumple puzle por puzle:

• Fácil: existe alguna solución que solo usa suma y resta. Los 12/12 puzles fáciles tienen al menos un camino puramente aditivo, y 9 de los 12 tienen exactamente 39 caminos, todos aditivos.
• Medio: no existe solución aditiva, pero sí alguna que nunca sale de los enteros. Los 12/12 puzles medios tienen un camino solo con enteros y ninguno tiene uno aditivo.
• Difícil: toda solución necesita un paso fraccionario. Los 12/12 puzles difíciles no tienen ningún camino solo con enteros; los 34 caminos del tramo difícil pasan por una fracción.

Esa última línea es la que los jugadores no se creen. La tabla muestra la fracción más pequeña que cada puzle difícil obliga a usar, medida sobre todos sus caminos:

Un puzle difícil no es «un puzle medio con números más grandes». Es un puzle cuyo camino más corto a 24 pasa por un valor que no es entero, y a menudo por un denominador de 5, 7 u 11. Si rechazas una fracción porque parece algo inacabado, no puedes resolver ni un solo puzle difícil. El tramo difícil no es una muestra aleatoria: de todos los conjuntos de cuatro números que se pueden formar con 1–13, solo 16 tienen solución y ninguno tiene un camino solo con enteros. La biblioteca usa doce de esos dieciséis.

4. Cómo se gana de verdad en cada tramo

Agrupé los 577 caminos de solución por el operador de la última fusión. El patrón es lo bastante fuerte como para planificar con él:

El tramo fácil termina sumando o restando: el 95,9% de sus caminos. El último paso suele unir dos valores medianos como 14 + 10, 15 + 9, 12 + 12 o 25 − 1. Así que en fácil no busques un producto: construye dos números cuya suma o diferencia sea 24.

El tramo medio termina multiplicando: el 72,7% de sus caminos acaban en ×, y las formas habituales son parejas de factores de 24: 6 × 4 (13 caminos), 2 × 12 (9), 8 × 3 (8), 12 × 2 (4), 3 × 8 (3), 4 × 6 (1). Planifica al revés: ¿qué dos de tus cuatro números pueden convertirse en 6 y 4, o en 8 y 3, mientras los otros dos producen el segundo factor? El tramo medio es también donde aparecen los intermedios negativos: #16 (1 3 5 7) gana con 3 − 1 = 2, 5 + 7 = 12, 2 × 12 = 24, y #19 usa 5 × 13 = 65, 65 + 7 = 72, 72 ÷ 3 = 24.

El tramo difícil nunca termina con + ni con −. Sus 34 caminos se reparten en dos formas:

• 24/k × k (24 caminos): construye 24 dividido por uno de los números y luego multiplica por ese número. #33 (3 3 7 7): 3 ÷ 7 = 3/7, 3 + 3/7 = 24/7, 24/7 × 7 = 24.
• x ÷ (1/k) (10 caminos): construye 1 dividido por uno de los números y luego divide por él. #34 (3 3 8 8): 8 ÷ 3 = 8/3, 3 − 8/3 = 1/3, 8 ÷ 1/3 = 24.

Ese es todo el tramo difícil en dos frases. La fracción no es un desvío: es el mecanismo. Cuando ves la forma, los puzles «imposibles» vuelven a ser aritmética.

5. La apertura es la decisión

Cada puzle tiene 36 fusiones de apertura legales (6 parejas sin orden × 6 órdenes de operador; ninguna pareja puede dividir entre cero en esta biblioteca). Probé las 1.296 y pregunté si las tres fichas restantes todavía podían llegar a 24.

Una primera fusión al azar tiene una probabilidad de una entre cuatro incluso en fácil, y de una entre catorce en difícil. Por eso «probar algo» se siente mal: la mayoría de las veces no estás explorando, estás terminando el puzle.

El operador importa todavía más que el tramo:

Multiplicar primero es el peor hábito del juego. Produce un número grande, y un número grande es difícil de llevar de vuelta a 24 con dos fusiones; solo 4 de los 216 productos de apertura de toda la biblioteca dejan una posición ganable. La resta y la suma mantienen los valores en un rango que aún puedes dirigir. La división es la excepción, y en difícil es lo único que funciona.

6. Tramo difícil: la primera fusión tiene que ser una fracción

De las 340 aperturas de los puzles difíciles que mantienen los dos operandos y el resultado como números enteros, ninguna sobrevive. Las 30 aperturas que sobreviven son divisiones cuyo resultado no es entero. Es una demostración, no una heurística: sumar, restar o multiplicar dos enteros no puede crear una fracción, y toda posición solo con enteros de un puzle difícil está muerta, así que la primera fusión tiene que ser una división que deje una fracción.

Los doce puzles difíciles, con las aperturas que de verdad los mantienen vivos:

Mira la forma de la apertura que sobrevive: siempre es el número menor dividido por el mayor, así que el resultado queda por debajo de 1. Dividir al revés —10 ÷ 2 = 5 en #30, 4 ÷ 3 = 4/3 en #25— deja un valor demasiado grande para volver a 24 en dos fusiones. En difícil, «divide pequeño entre grande» es lo primero que hay que probar.

7. «Ya veo 24» casi siempre es una trampa

Doce de los 36 puzles contienen dos números iniciales que se fusionan exactamente en 24: nueve parejas que multiplican a 24 y tres que suman 24. Casi siempre es un cebo. Fusionar esa pareja primero deja a los otros dos números la tarea de combinarse con 24 para dar 24, lo que exige que produzcan 1 (para × o ÷) o 0 (para + o −). Normalmente no pueden.

La medición: en 11 de esos 12 puzles, la fusión que ya lee 24 deja la posición sin solución. La única excepción es #3 (3 8 9 10): 3 × 8 = 24, 10 − 9 = 1, 24 × 1 = 24. Todos los demás casos son callejones sin salida, incluidas las cuatro parejas 3 × 8 de #34 (3 3 8 8), el puzle cuya respuesta real divide 8 entre 3 y nunca multiplica directamente los 3 y los 8.

La regla práctica: cuando veas una pareja que da 24, no la fusiones. Pregunta qué pueden producir los otros dos números y si 24 puede absorber ese valor. Si la respuesta no es 1 o 0, la pareja es un cebo. En #34 el movimiento ganador es el que menos parece un avance: convertir 8 ÷ 3 en una fracción.

8. El orden importa: la primera ficha es el número izquierdo

Intercambiar las dos fichas cambia el resultado de − y ÷, y eso cambia si el puzle sobrevive. Comprobé las dos direcciones de cada pareja en cada puzle: 41 casos ordenados en 20 de los 36 puzles pasan de ganar a morir al invertir los operandos.

Dos concretos:

• #3 (3 8 9 10): 10 − 9 = 1 mantiene vivo el puzle; 9 − 10 = −1 lo mata.
• #34 (3 3 8 8): 8 ÷ 3 = 8/3 es el único tipo de apertura que gana; 3 ÷ 8 = 3/8 está muerta.

Así que el hábito no es «elige el mayor primero» ni «elige el menor primero». Es: di la resta o la división en voz alta en el orden que quieres —«diez menos nueve», «ocho dividido entre tres»— y toca primero el operando izquierdo. En suma y producto el orden es libre, y por eso son los operadores seguros para abrir.

Un detalle relacionado: el juego permite valores intermedios negativos, y la propia pista los usa. En #1 (1 6 9 10) la primera fusión recomendada es 1 − 6 = −5, luego −5 − 9 = −14, luego 10 − (−14) = 24. Si un número negativo te hace parar y reiniciar, estás tirando una ruta legal y a menudo necesaria.

9. Pista, Deshacer, Reiniciar y la economía de estrellas

El build publicado no tiene límite de movimientos, ni de tiempo, ni penalización por usar Deshacer. Lo único que cuesta es la calificación de estrellas, y las reglas son exactas:

• 3 estrellas: la solución no usó Pista ni Deshacer.
• 2 estrellas: no usó Pista, pero usó Deshacer al menos una vez.
• 1 estrella: usó Pista, sin importar cuántas veces.

Deshacer no tiene límite y retrocede exactamente una fusión. Reiniciar recarga el puzle y borra el contador de pistas, la marca de deshacer y el cronómetro, así que un reinicio limpio protege un intento de tres estrellas de una forma que Deshacer no puede. Tu mejor registro por puzle —primero estrellas, después tiempo— solo se reemplaza por una calificación mejor o, con la misma calificación, por un tiempo más rápido, así que una mala partida nunca borra una buena. Se guarda solo en este navegador, con la clave pn.make-24.best.v1.

La Pista resuelve la posición en la que estás de verdad, no la posición inicial, y te muestra una fusión legal sin jugarla. Cada pulsación correcta suma uno al contador de pistas. Si la posición actual ya no puede llegar a 24, la Pista lo dice y no suma al contador; te pide que deshagas un movimiento. Eso convierte la Pista en un comprobador de posición además de un solucionador: pulsarla después de una fusión sospechosa es la forma más barata de saber si has matado el puzle. (Con una sola ficha, la Pista no hace nada: la barra de estado ya te dice que esa ficha no es 24, y Deshacer o Reiniciar es la única salida.)

Dos consecuencias. Primera: si persigues estrellas, reinicia en vez de deshacer después de un error; Deshacer te limita a dos estrellas durante el resto del intento. Segunda: usa la Pista como último recurso, no como primer movimiento; la primera sugerencia del solucionador es la primera fusión que encuentra su búsqueda en un orden fijo de operadores (+, ×, −, ÷), no un juicio sobre qué fusión enseña más. Medido desde la posición inicial, la Pista abre con una resta en 11 de los 12 puzles fáciles, con + en 8 de los 12 medios y con una división en los 12 difíciles; lo último no es preferencia estilística, es el único tipo de primera fusión que sobrevive.

10. Un bucle de práctica, con tres ejemplos

1. Lee el tramo primero. Fácil: apunta a una suma o resta final. Medio: apunta a una pareja de factores final (6 × 4, 8 × 3, 2 × 12). Difícil: acepta que la primera fusión es una división de pequeño entre grande.
2. Elige la apertura antes de tocar una ficha. Prefiere + o − en fácil y medio, y solo un ÷ que produzca fracción en difícil. No abras con × salvo que hayas contado por qué.
3. Di la dirección en voz alta para − y ÷, y toca primero el operando izquierdo.
4. Cuenta la última jugada al revés. Después de la apertura quedan dos fusiones: decide qué pareja final necesitas y comprueba si la fusión intermedia puede producirla.
5. Si la posición muere, deshaz una vez. Si persigues estrellas, reinicia. Si no sabes si está muerta, pulsa Pista: te lo dirá sin cobrarte.

Fácil, #1 (1 6 9 10): la solución de la propia Pista es 1 − 6 = −5, luego −5 − 9 = −14, luego 10 − (−14) = 24. La lección no es el camino exacto, sino que el valor negativo es una herramienta. Quien se niega a bajar de cero no ve ninguna salida.

Medio, #13 (1 2 3 5): 1 + 2 = 3, 3 + 5 = 8, 8 × 3 = 24. La última jugada es una multiplicación, y los dos factores salen de las parejas: exactamente la forma del tramo medio de la sección 4. En medio, cuando ves un 6 y un 4, o un 8 y un 3, normalmente estás a una fusión del final.

Difícil, #34 (3 3 8 8): 8 ÷ 3 = 8/3, 3 − 8/3 = 1/3, 8 ÷ 1/3 = 24. Es el puzle que la gente llama imposible porque 3 × 8 = 24 está ahí mismo y fusionarlo mata la posición. El camino que funciona divide primero, resta para hacer una fracción unitaria y luego divide por ella. #33 (3 3 7 7) usa la otra forma difícil: 3 ÷ 7 = 3/7, 3 + 3/7 = 24/7, 24/7 × 7 = 24.

11. Si te atascas: lista de comprobación

1. ¿Has abierto con ×? Es lo primero que hay que deshacer: el 98,1% de los productos de apertura de esta biblioteca están muertos.
2. En difícil, ¿tu primera fusión es una división de un número menor entre uno mayor? Si no, todavía no has empezado.
3. ¿Has fusionado una pareja que ya leía 24? Comprueba si los otros dos pueden dar 1 o 0; si no, deshazla.
4. ¿Tocaste los operandos en el orden que querías para − o ÷? Invertirlos es una trampa de 41 casos en esta biblioteca.
5. ¿Estás rechazando un negativo o una fracción? Ambos son legales, y el tramo difícil exige la fracción.
6. ¿Sabes a qué final apuntas: una suma o resta en fácil, una pareja de factores en medio, 24/k × k o x ÷ (1/k) en difícil?
7. ¿Es uno de los tres puzles con un solo camino de solución (#19, #25, #26)? Entonces una fusión equivocada es fatal; deshaz antes de probar otra cosa.
8. Si sigues perdido, pulsa Pista una vez. Vuelve a resolver tu posición actual; si dice que no hay camino, deshaz, y si muestra una fusión, la posición sigue viva.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se juega al juego de los 24?

Toma cuatro números, usa cada uno exactamente una vez y combínalos con suma, resta, multiplicación y división hasta que quede un solo valor: tiene que ser exactamente 24. En Haz 24 lo haces con tres fusiones: toca dos fichas, toca un operador y la pareja se convierte en un resultado. La primera ficha es el operando izquierdo, así que toca primero el número que quieres restar o dividir.

¿Haz 24 es lo mismo que el «24 game»?

Es nuestro propio build del puzle público de cuatro números, no una copia de ninguna versión comercial. El puzle de cuatro números no tiene un autor único. 24 Game es una marca registrada de Suntex International y 24game.com es un sitio comercial; Haz 24 no está afiliado, respaldado ni derivado de él, y el nombre se usa solo para descripción y búsqueda.

¿Todos los puzles de Haz 24 tienen solución?

Sí: los 36 se verificaron sin conexión con fracciones exactas, y el número de soluciones que trae la biblioteca se reenumeró en esta sesión sin discrepancias. Cada puzle tiene al menos un camino a 24. Pero una posición puede quedar sin solución después de una fusión equivocada; eso es un hecho sobre tu tablero, no sobre el puzle. La Pista te dice cuándo ha pasado.

¿Hay que usar los cuatro números?

Sí. Un movimiento consume dos fichas y deja una, así que cuatro números siempre piden exactamente tres fusiones y la ficha final tiene que ser 24. No puedes saltarte un número ni reutilizar un resultado, y no hay atajo de dos movimientos.

¿Se permiten fracciones y números negativos?

Sí, y el tramo difícil exige una fracción. Los valores se conservan exactos —8 ÷ 3 sigue siendo 8/3, nunca un decimal redondeado—, así que el juego no rechazará una posición por un error de coma flotante. Los intermedios negativos también son legales: en #1 (1 6 9 10) la línea ganadora pasa por −5 y −14 y termina con 10 − (−14) = 24.

¿Por qué multiplicar primero suele fallar?

Porque un producto es grande y solo te quedan dos fusiones. En toda la biblioteca, solo 4 de 216 productos de apertura dejan una posición ganable (1,9%), frente al 25,5% de abrir con suma y el 22,9% con resta. En difícil, toda apertura que se queda en números enteros está muerta, así que la primera fusión tiene que ser una división que produzca una fracción.

¿Qué significa el tramo?

Describe las soluciones, no una puntuación. Fácil tiene una solución que solo usa suma y resta. Medio no tiene solución aditiva pero sí una que nunca sale de los enteros. Difícil no tiene ninguna solución solo con enteros: todos los caminos pasan por una fracción, con denominadores obligatorios de 2 a 11 según el puzle.

¿Qué significan las estrellas?

Tres estrellas por resolver sin Pista y sin Deshacer; dos si usaste Deshacer pero no Pista; una si usaste Pista al menos una vez. Deshacer no tiene límite y solo te cuesta la tercera estrella. Reiniciar borra el contador de pistas y la marca de deshacer, así que reiniciar protege un intento de tres estrellas. Tus mejores estrellas y tiempo por puzle se guardan en este navegador.

¿Por qué la Pista a veces dice que no hay camino a 24?

Porque la posición actual ya no puede llegar a 24: alguna fusión anterior estaba mal. La Pista vuelve a resolver la posición en la que estás, no el puzle inicial. Cuando informa que no hay camino no suma a tu contador de pistas; deshaz una fusión y prueba otra pareja. Con una sola ficha no hace nada, porque la barra de estado ya te dice que esa ficha no es 24.

¿Cuántos puzles hay y puedo saltar a uno?

36, doce por tramo, numerados del 1 al 36. Usa ?puzzle= con un número, un id o un tramo: ?puzzle=34, ?puzzle=hard o ?puzzle=medium. Un valor inválido empieza en el puzle 1. Las flechas mueven de uno en uno y el teclado también funciona: 1–4 eligen ficha, + − * / eligen operador, U deshace, H da una pista y R reinicia.

¿Se puede jugar a Haz 24 en el móvil?

Sí. Las fichas miden al menos 40 px en ambos ejes y los botones al menos 28 px de alto; el toque funciona con ratón, dedo o lápiz, y el diseño se comprobó a 390×844 sin desbordamiento. No hay descarga ni registro, y tus mejores tiempos se quedan en el navegador en el que juegas.