Mach-24-Strategie: vier Zahlen, drei Züge und exakte Brüche (2026)

1. Die Bibliothek: 36 feste Rätsel, 577 Lösungswege

Mach 24 gibt dir vier ganze Zahlen und ein Ziel: Am Ende muss eine einzige Kachel genau 24 zeigen. Die Bibliothek ist auf 36 Rätsel festgeschrieben, zwölf pro Stufe, nummeriert 1–36.

Ein Lösungsweg ist eine vollständige Folge von drei Zusammenführungen, die auf 24 endet; die Zahlen sind exakt, keine Schätzungen. Alle zwölf leichten Rätsel haben mindestens 39 Wege, deshalb fühlen sie sich nachgiebig an. Die schwere Stufe hat insgesamt nur 34 Wege auf zwölf Rätsel, und drei Rätsel der ganzen Bibliothek haben genau einen Weg: #19 (mittel, 3 5 7 13), #25 (schwer, 1 3 4 6) und #26 (schwer, 2 3 5 12). Dort macht jede Zusammenführung abseits des Weges das Rätsel unlösbar — Rückgängig ist keine Bequemlichkeit, sondern der Unterschied zwischen Fertigmachen und Neustart.

Nichts wird zur Laufzeit erzeugt. Jedes Rätsel wurde offline mit denselben exakten Zügen geprüft, die du spielst, und die mitgelieferte Lösungszahl wurde in dieser Sitzung neu hergeleitet.

2. Ein Zug ist eine Zusammenführung: die drei Fakten, die alles entscheiden

1. Ein Zug nimmt zwei Kacheln, wendet einen Operator an und lässt ein Ergebnis übrig. Vier Zahlen brauchen deshalb immer genau drei Zusammenführungen. Man kann keine Zahl doppelt verwenden und nicht in zwei Zügen fertig werden.
2. Die zuerst gewählte Kachel ist der linke Operand. Erst 8, dann 3 und Minus rechnet 8 − 3 = 5; erst 3 ergibt 3 − 8 = −5. Plus und Mal ist die Reihenfolge egal, Minus und Geteilt nicht. Abschnitt 8 zeigt, warum das mehr Rätsel entscheidet, als es aussieht.
3. Nur Division durch null ist verboten. Negative Ergebnisse und Brüche sind erlaubt und bleiben exakt: 8 ÷ 3 bleibt 8/3, nie 2,666…, und der Rechner arbeitet mit demselben exakten Wert. Es gibt keine Rundung, die eine fast richtige Antwort durchlässt.

Weil eine Zusammenführung jede Klammerung ausdrücken kann — die drei Zusammenführungen sind ein Binärbaum über den vier Zahlen —, brauchst du nie eine Klammerntaste. Die interessante Frage ist nie „wie schreibe ich das“, sondern „welches Paar führe ich zusammen, in welcher Reihenfolge und mit welchem Operator“.

Das Zugprotokoll steht über den Kacheln. Lies es, bevor du Rückgängig drückst: Es zeigt, welcher Wert aus welchem Paar kam, und damit sieht man meistens, an welchem Schritt die Stellung kaputtging.

3. Die Stufe ist eine Aussage über die Lösungen, keine Punktzahl

Die drei Stufen sind kein Schwierigkeitsregler. Jede ist eine Aussage darüber, was die Lösungen dieses Rätsels enthalten dürfen, und die ausgelieferte Bibliothek erfüllt sie Rätsel für Rätsel:

• Leicht: Es gibt eine Lösung nur mit Plus und Minus. Alle 12/12 leichten Rätsel haben mindestens einen rein additiven Weg, und 9 der 12 haben genau 39 Wege, alle additiv.
• Mittel: Es gibt keine additive Lösung, aber eine, die nie die ganzen Zahlen verlässt. Alle 12/12 mittleren Rätsel haben einen rein ganzzahligen Weg und keines einen additiven.
• Schwer: Jede Lösung braucht einen Bruchschritt. Alle 12/12 schweren Rätsel haben keinen rein ganzzahligen Weg; alle 34 Wege der schweren Stufe führen durch einen Bruch.

Die letzte Zeile ist die, die Spieler nicht glauben. Die Tabelle zeigt den kleinsten Bruch, den jedes schwere Rätsel erzwingt, gemessen über alle seine Wege:

Ein schweres Rätsel ist kein „mittleres Rätsel mit größeren Zahlen“. Es ist ein Rätsel, dessen kürzester Weg zu 24 durch einen nicht ganzen Wert führt, oft mit Nenner 5, 7 oder 11. Wenn du einen Bruch ablehnst, weil er unfertig aussieht, löst du kein einziges schweres Rätsel. Die schwere Stufe ist keine Zufallsauswahl: Von allen Vierer-Mengen aus 1–13 haben nur 16 überhaupt eine Lösung, und keine hat einen rein ganzzahligen Weg. Die Bibliothek nutzt zwölf dieser sechzehn.

4. Wie ein Sieg in jeder Stufe wirklich aussieht

Ich habe alle 577 Lösungswege nach dem Operator der letzten Zusammenführung gruppiert. Das Muster ist stark genug zum Planen:

Die leichte Stufe endet mit Plus oder Minus — 95,9 % ihrer Wege. Der letzte Zug verbindet meist zwei mittelgroße Werte wie 14 + 10, 15 + 9, 12 + 12 oder 25 − 1. Suche auf leicht also kein Produkt, sondern baue zwei Zahlen, deren Summe oder Differenz 24 ist.

Die mittlere Stufe endet mit Mal — 72,7 % ihrer Wege enden auf ×, und die häufigen Formen sind Faktorpaare von 24: 6 × 4 (13 Wege), 2 × 12 (9), 8 × 3 (8), 12 × 2 (4), 3 × 8 (3), 4 × 6 (1). Plane rückwärts: Welche zwei deiner vier Zahlen können 6 und 4 werden, oder 8 und 3, während die anderen beiden den zweiten Faktor bilden? Mittel ist auch die Stufe der negativen Zwischenwerte: #16 (1 3 5 7) gewinnt mit 3 − 1 = 2, 5 + 7 = 12, 2 × 12 = 24, und #19 nutzt 5 × 13 = 65, 65 + 7 = 72, 72 ÷ 3 = 24.

Die schwere Stufe endet nie mit + oder −. Ihre 34 Wege zerfallen in zwei Formen:

• 24/k × k (24 Wege): Baue 24 geteilt durch eine der Zahlen und multipliziere dann mit dieser Zahl. #33 (3 3 7 7): 3 ÷ 7 = 3/7, 3 + 3/7 = 24/7, 24/7 × 7 = 24.
• x ÷ (1/k) (10 Wege): Baue 1 geteilt durch eine der Zahlen und teile dann durch sie. #34 (3 3 8 8): 8 ÷ 3 = 8/3, 3 − 8/3 = 1/3, 8 ÷ 1/3 = 24.

Das ist die ganze schwere Stufe in zwei Sätzen. Der Bruch ist kein Umweg, er ist der Mechanismus. Wer die Form sieht, für den werden „unmögliche“ Rätsel wieder Arithmetik.

5. Die Eröffnung ist die Entscheidung

Jedes Rätsel hat 36 legale Eröffnungszüge (6 ungeordnete Paare × 6 Operator-Reihenfolgen; kein Paar teilt in dieser Bibliothek durch null). Ich habe alle 1.296 durchgespielt und gefragt, ob die drei restlichen Kacheln noch 24 erreichen.

Eine zufällige erste Zusammenführung ist selbst auf leicht nur eine Eins-zu-vier-Chance, auf schwer eine Eins-zu-vierzehn-Chance. Deshalb fühlt sich „ich probiere mal was“ schlecht an: Meistens erkundest du nicht, sondern beendest das Rätsel.

Der Operator zählt noch mehr als die Stufe:

Zuerst zu multiplizieren ist die schlechteste Angewohnheit im Spiel. Es entsteht eine große Zahl, und eine große Zahl ist mit zwei Zügen schwer zurück auf 24 zu bringen; nur 4 der 216 Eröffnungsprodukte der ganzen Bibliothek lassen eine gewinnbare Stellung übrig. Subtraktion und Addition halten die Werte in einem Bereich, den du noch steuern kannst. Division ist die Ausnahme, und auf schwer die einzige Sache, die funktioniert.

6. Schwere Stufe: Die erste Zusammenführung muss ein Bruch sein

Von den 340 Eröffnungen schwerer Rätsel, die beide Operanden und das Ergebnis ganzzahlig lassen, überlebt keine. Alle 30 überlebenden Eröffnungen sind Divisionen, deren Ergebnis nicht ganzzahlig ist. Das ist ein Beweis, keine Heuristik: Plus, Minus und Mal zweier ganzer Zahlen kann keinen Bruch erzeugen, und jede rein ganzzahlige Stellung eines schweren Rätsels ist tot, also muss die erste Zusammenführung eine Division sein, die einen Bruch hinterlässt.

Die zwölf schweren Rätsel mit den Eröffnungen, die sie wirklich am Leben halten:

Sieh dir die Form der überlebenden Eröffnung an: Es ist immer die kleinere Zahl geteilt durch die größere, das Ergebnis liegt also unter 1. Andersherum zu teilen — 10 ÷ 2 = 5 bei #30, 4 ÷ 3 = 4/3 bei #25 — lässt einen Wert übrig, der zu groß ist, um ihn mit zwei Zügen zurück auf 24 zu falten. Auf schwer ist „klein durch groß teilen“ der erste Versuch.

7. „Ich sehe schon 24“ ist fast immer eine Falle

Zwölf der 36 Rätsel enthalten zwei Startzahlen, die sich genau zu 24 zusammenführen lassen: neun Paare mit Produkt 24 und drei mit Summe 24. Es ist fast immer ein Köder. Dieses Paar zuerst zusammenzuführen lässt die anderen beiden Zahlen mit 24 zu 24 kombinieren, was verlangt, dass sie 1 (für × oder ÷) oder 0 (für + oder −) ergeben. Meistens können sie das nicht.

Die Messung: In 11 dieser 12 Rätsel macht die Zusammenführung, die schon 24 liest, die Stellung ungewinnbar. Die einzige Ausnahme ist #3 (3 8 9 10): 3 × 8 = 24, 10 − 9 = 1, 24 × 1 = 24. Alle anderen Fälle sind Sackgassen, einschließlich aller vier 3 × 8-Paare bei #34 (3 3 8 8) — dem Rätsel, dessen echte Antwort 8 durch 3 teilt und die 3en und 8en nie direkt multipliziert.

Die praktische Regel: Wenn du ein Paar siehst, das 24 ergibt, führe es nicht zusammen. Frage, was die anderen beiden Zahlen erzeugen können und ob 24 diesen Wert aufnehmen kann. Ist die Antwort nicht 1 oder 0, ist das Paar ein Köder. Bei #34 ist der gewinnende Zug der, der am wenigsten nach Fortschritt aussieht: 8 ÷ 3 in einen Bruch verwandeln.

8. Die Reihenfolge zählt: Die erste Kachel ist die linke Zahl

Die beiden Kacheln zu tauschen ändert das Ergebnis von − und ÷, und das ändert, ob das Rätsel überlebt. Ich habe bei jedem Rätsel jedes Paar in beiden Richtungen geprüft: 41 geordnete Fälle in 20 der 36 Rätsel kippen vom Gewinnen ins Töten, wenn man die Operanden vertauscht.

Zwei konkrete:

• #3 (3 8 9 10): 10 − 9 = 1 hält das Rätsel am Leben; 9 − 10 = −1 tötet es.
• #34 (3 3 8 8): 8 ÷ 3 = 8/3 ist die einzige Eröffnungsart, die gewinnt; 3 ÷ 8 = 3/8 ist tot.

Die Angewohnheit ist also nicht „nimm die größere zuerst“ oder „nimm die kleinere zuerst“. Sie ist: Sprich die Subtraktion oder Division in der gewünschten Reihenfolge aus — „zehn minus neun“, „acht geteilt durch drei“ — und tippe den linken Operanden zuerst an. Bei Plus und Mal ist die Reihenfolge frei, und genau deshalb sind sie die sicheren Eröffnungsoperatoren.

Ein verwandtes Detail: Das Spiel erlaubt negative Zwischenwerte, und der Hinweis selbst nutzt sie. Bei #1 (1 6 9 10) ist die empfohlene erste Zusammenführung 1 − 6 = −5, dann −5 − 9 = −14, dann 10 − (−14) = 24. Wenn dich eine negative Zahl stoppen und neu starten lässt, wirfst du einen legalen und oft nötigen Weg weg.

9. Hinweis, Rückgängig, Neustart und die Sterne-Ökonomie

Der ausgelieferte Build hat kein Zuglimit, kein Zeitlimit und keine Strafe für Rückgängig. Das Einzige, was kostet, ist die Sternebewertung, und die Regeln sind exakt:

• 3 Sterne: Die Lösung nutzte weder Hinweis noch Rückgängig.
• 2 Sterne: Kein Hinweis, aber mindestens einmal Rückgängig.
• 1 Stern: Ein Hinweis wurde benutzt, egal wie oft.

Rückgängig ist unbegrenzt und geht genau eine Zusammenführung zurück. Neustart lädt das Rätsel neu und setzt Hinweiszähler, Rückgängig-Markierung und Uhr zurück; ein sauberer Neustart schützt einen Drei-Sterne-Versuch also auf eine Weise, wie es Rückgängig nicht kann. Dein Bestwert pro Rätsel — erst Sterne, dann Zeit — wird nur durch eine bessere Bewertung oder bei gleicher Bewertung durch eine schnellere Zeit ersetzt; ein schlechter Lauf überschreibt nie einen guten. Er liegt nur in diesem Browser, unter pn.make-24.best.v1.

Der Hinweis löst die Stellung, in der du wirklich bist, nicht die Startstellung, und zeigt eine legale Zusammenführung, ohne sie zu spielen. Jeder erfolgreiche Druck zählt einen Hinweis. Kann die aktuelle Stellung 24 nicht mehr erreichen, sagt der Hinweis das und zählt nicht hoch; er bittet dich, einen Zug rückgängig zu machen. Damit ist der Hinweis auch ein Stellungsprüfer: Ihn nach einer verdächtigen Zusammenführung zu drücken ist der billigste Weg zu erfahren, ob du das Rätsel getötet hast. (Mit nur einer Kachel tut der Hinweis nichts — die Statuszeile sagt bereits, dass die Kachel nicht 24 ist, und Rückgängig oder Neustart ist der einzige Ausweg.)

Zwei Folgen. Erstens: Wenn du auf Sterne aus bist, starte nach einem Fehler neu statt rückgängig zu machen; Rückgängig deckelt den Rest des Versuchs auf zwei Sterne. Zweitens: Nutze den Hinweis als letztes Mittel, nicht als ersten Zug — der erste Vorschlag des Rechners ist die erste Zusammenführung, die seine Suche in einer festen Operatorreihenfolge (+, ×, −, ÷) findet, kein Urteil darüber, welche Zusammenführung am meisten lehrt. Von der Startstellung aus gemessen eröffnet der Hinweis bei 11 der 12 leichten Rätsel mit einer Subtraktion, bei 8 der 12 mittleren mit + und bei allen 12 schweren mit einer Division; Letzteres ist keine Stilfrage, sondern die einzige Eröffnungsart, die überlebt.

10. Eine Übungsschleife, mit drei Beispielen

1. Lies zuerst die Stufe. Leicht: Ziele auf eine letzte Summe oder Differenz. Mittel: Ziele auf ein letztes Faktorpaar (6 × 4, 8 × 3, 2 × 12). Schwer: Akzeptiere, dass die erste Zusammenführung eine Division von klein durch groß ist.
2. Wähle die Eröffnung, bevor du eine Kachel berührst. Bevorzuge + oder − auf leicht und mittel, und auf schwer nur ein ÷, das einen Bruch erzeugt. Eröffne nicht mit ×, außer du hast begründet gezählt.
3. Sprich die Richtung laut aus bei − und ÷, und tippe den linken Operanden zuerst an.
4. Zähle den letzten Zug rückwärts. Nach der Eröffnung bleiben zwei Zusammenführungen: Entscheide, welches letzte Paar es sein muss, und prüfe, ob die mittlere Zusammenführung es erzeugen kann.
5. Stirbt die Stellung, mach einmal rückgängig. Wenn du auf Sterne aus bist, starte neu. Wenn du unsicher bist, ob sie tot ist, drück den Hinweis — er sagt es, ohne zu zählen.

Leicht, #1 (1 6 9 10): Die Lösung des Hinweises selbst ist 1 − 6 = −5, dann −5 − 9 = −14, dann 10 − (−14) = 24. Die Lektion ist nicht der genaue Weg, sondern dass der negative Wert ein Werkzeug ist. Wer sich weigert, unter null zu gehen, sieht keinen Ausweg.

Mittel, #13 (1 2 3 5): 1 + 2 = 3, 3 + 5 = 8, 8 × 3 = 24. Der letzte Zug ist eine Multiplikation, und die beiden Faktoren entstehen aus den Paaren — genau die Mittelform aus Abschnitt 4. Auf mittel bist du, sobald du eine 6 und eine 4 siehst, oder eine 8 und eine 3, meist einen Zug vor dem Ende.

Schwer, #34 (3 3 8 8): 8 ÷ 3 = 8/3, 3 − 8/3 = 1/3, 8 ÷ 1/3 = 24. Dieses Rätsel nennen Leute unmöglich, weil 3 × 8 = 24 direkt daneben liegt und das Zusammenführen die Stellung tötet. Der funktionierende Weg teilt zuerst, subtrahiert zu einem Stammbruch und teilt dann durch ihn. #33 (3 3 7 7) nutzt die andere schwere Form: 3 ÷ 7 = 3/7, 3 + 3/7 = 24/7, 24/7 × 7 = 24.

11. Wenn du hängst: eine Checkliste

1. Hast du mit × eröffnet? Das ist das Erste, was rückgängig muss — 98,1 % der Eröffnungsprodukte dieser Bibliothek sind tot.
2. Ist auf schwer deine erste Zusammenführung eine Division einer kleineren durch eine größere Zahl? Wenn nicht, hast du noch nicht angefangen.
3. Hast du ein Paar zusammengeführt, das schon 24 las? Prüfe, ob die anderen beiden 1 oder 0 ergeben; wenn nicht, mach es rückgängig.
4. Hast du die Operanden bei − oder ÷ in der gewünschten Reihenfolge angetippt? Das Vertauschen ist in dieser Bibliothek eine Falle mit 41 Fällen.
5. Weigerst du dich gegen ein Negativ oder einen Bruch? Beides ist legal, und die schwere Stufe verlangt den Bruch.
6. Weißt du, welches Ende du anstrebst — eine Summe oder Differenz auf leicht, ein Faktorpaar auf mittel, 24/k × k oder x ÷ (1/k) auf schwer?
7. Ist es eines der drei Rätsel mit nur einem Lösungsweg (#19, #25, #26)? Dann ist eine falsche Zusammenführung fatal; mach rückgängig, bevor du etwas anderes probierst.
8. Wenn du immer noch verloren bist, drück einmal den Hinweis. Er löst deine aktuelle Stellung neu; sagt er, es gibt keinen Weg, mach rückgängig, zeigt er eine Zusammenführung, lebt die Stellung noch.

Häufige Fragen

Wie spielt man das 24-Spiel?

Nimm vier Zahlen, benutze jede genau einmal und kombiniere sie mit Plus, Minus, Mal und Geteilt, bis ein einziger Wert übrig bleibt: Er muss genau 24 sein. In Mach 24 geht das mit drei Zusammenführungen: zwei Kacheln antippen, einen Operator antippen, und das Paar wird ein Ergebnis. Die erste Kachel ist der linke Operand — tippe also zuerst die Zahl an, die du subtrahieren oder teilen willst.

Ist Mach 24 dasselbe wie das „24 Game“?

Es ist unser eigener Build des öffentlichen Vier-Zahlen-Rätsels, keine Kopie einer kommerziellen Version. Das Vier-Zahlen-Rätsel hat keinen einzelnen Autor. 24 Game ist eine eingetragene Marke von Suntex International und 24game.com eine kommerzielle Seite; Mach 24 ist weder verbunden noch unterstützt noch davon abgeleitet, und der Name dient nur Beschreibung und Suche.

Ist jedes Mach-24-Rätsel lösbar?

Ja — alle 36 wurden offline mit exakten Brüchen als lösbar bewiesen, und die mitgelieferten Lösungszahlen wurden in dieser Sitzung ohne Abweichung neu gezählt. Jedes Rätsel hat mindestens einen Weg zu 24. Eine Stellung kann nach einer falschen Zusammenführung aber unlösbar werden; das ist ein Fakt über dein Brett, nicht über das Rätsel. Der Hinweis sagt dir, wann das passiert ist.

Muss ich alle vier Zahlen benutzen?

Ja. Ein Zug verbraucht zwei Kacheln und lässt eine übrig, also brauchen vier Zahlen immer genau drei Zusammenführungen, und die letzte Kachel muss 24 sein. Man kann keine Zahl überspringen und kein Ergebnis wiederverwenden, und es gibt keine Zwei-Züge-Abkürzung.

Sind Brüche und negative Zahlen erlaubt?

Ja, und die schwere Stufe verlangt einen Bruch. Werte bleiben exakt — 8 ÷ 3 bleibt 8/3, nie eine gerundete Dezimalzahl —, das Spiel weist eine Stellung also nicht wegen Gleitkommafehlern zurück. Negative Zwischenwerte sind ebenfalls legal: Bei #1 (1 6 9 10) führt der Gewinnweg über −5 und −14 und endet mit 10 − (−14) = 24.

Warum scheitert Multiplizieren zuerst so oft?

Weil ein Produkt groß ist und nur zwei Zusammenführungen übrig bleiben. In der ganzen Bibliothek lassen nur 4 von 216 Eröffnungsprodukten eine gewinnbare Stellung übrig (1,9 %), gegenüber 25,5 % bei Additions- und 22,9 % bei Subtraktionseröffnung. Auf schwer ist jede Eröffnung, die ganzzahlig bleibt, tot; die erste Zusammenführung muss eine Division sein, die einen Bruch erzeugt.

Was bedeutet die Stufe?

Sie beschreibt die Lösungen, keine Punktzahl. Leicht hat eine Lösung nur mit Plus und Minus. Mittel hat keine additive Lösung, aber eine, die nie die ganzen Zahlen verlässt. Schwer hat überhaupt keine rein ganzzahlige Lösung: Jeder Weg führt durch einen Bruch, mit erzwungenen Nennern von 2 bis 11 je nach Rätsel.

Was bedeuten die Sterne?

Drei Sterne für eine Lösung ohne Hinweis und ohne Rückgängig; zwei, wenn du Rückgängig benutzt hast, aber keinen Hinweis; einen, wenn du überhaupt einen Hinweis benutzt hast. Rückgängig ist unbegrenzt und kostet nur den dritten Stern. Neustart setzt Hinweiszähler und Rückgängig-Markierung zurück, deshalb schützt ein Neustart einen Drei-Sterne-Versuch. Deine besten Sterne und Zeiten pro Rätsel bleiben in diesem Browser.

Warum sagt der Hinweis manchmal, es gibt keinen Weg zu 24?

Weil die aktuelle Stellung wirklich nicht mehr 24 erreichen kann: Eine frühere Zusammenführung war falsch. Der Hinweis löst die Stellung neu, in der du bist, nicht das Starträtsel. Meldet er keinen Weg, zählt er nicht auf deinen Hinweiszähler; mach eine Zusammenführung rückgängig und probiere ein anderes Paar. Mit nur einer Kachel tut er nichts, weil die Statuszeile bereits sagt, dass die Kachel nicht 24 ist.

Wie viele Rätsel gibt es, und kann ich zu einem springen?

36, zwölf pro Stufe, nummeriert 1–36. Nutze ?puzzle= mit einer Nummer, einer Id oder einer Stufe: ?puzzle=34, ?puzzle=hard oder ?puzzle=medium. Ein ungültiger Wert startet bei Rätsel 1. Die Pfeile bewegen sich Rätsel für Rätsel, und die Tastatur funktioniert auch: 1–4 wählen eine Kachel, + − * / einen Operator, U macht rückgängig, H gibt einen Hinweis, R startet neu.

Kann ich Mach 24 auf dem Handy spielen?

Ja. Kacheln sind mindestens 40 px in beiden Achsen groß und Tasten mindestens 28 px hoch; Tippen funktioniert mit Maus, Finger oder Stift, und das Layout wurde bei 390×844 ohne Überlauf geprüft. Kein Download, keine Anmeldung, und deine Bestzeiten bleiben in dem Browser, in dem du spielst.