Estratégia do Faça 24: quatro números, três jogadas e frações exatas (2026)

1. A biblioteca: 36 desafios congelados, 577 caminhos de solução

O Faça 24 dá quatro números inteiros e um alvo: deixar uma única peça lendo exatamente 24. A biblioteca está congelada em 36 desafios, doze por faixa e numerados de 1 a 36.

Um caminho de solução é uma sequência completa de três fusões que termina em 24; as contagens são exatas, não estimativas. Os doze desafios fáceis têm pelo menos 39 caminhos cada, por isso parecem tolerantes. A faixa difícil tem só 34 caminhos no total entre os doze desafios, e três desafios da biblioteca inteira têm exatamente um caminho: #19 (médio, 3 5 7 13), #25 (difícil, 1 3 4 6) e #26 (difícil, 2 3 5 12). Nesses, qualquer fusão fora do caminho deixa o desafio sem solução: Desfazer não é conveniência, é a diferença entre terminar e reiniciar.

Nada é gerado em tempo de execução. Cada desafio foi verificado offline com o mesmo conjunto exato de movimentos que você joga, e a contagem de soluções que vem na biblioteca foi recalculada nesta sessão.

2. Um movimento é uma fusão: os três fatos que decidem tudo

1. Um movimento pega duas peças, aplica um operador e deixa um resultado. Por isso quatro números sempre pedem exatamente três fusões. Não dá para usar um número duas vezes nem terminar em dois movimentos.
2. A primeira peça que você escolhe é o operando da esquerda. Escolher 8, depois 3 e apertar menos calcula 8 − 3 = 5; escolher 3 primeiro dá 3 − 8 = −5. Soma e multiplicação não se importam com a ordem; subtração e divisão se importam. A seção 8 mostra por que isso decide mais desafios do que parece.
3. Só dividir por zero é ilegal. Resultados negativos e frações são legais e ficam exatos: 8 ÷ 3 continua 8/3, nunca 2,666…, e o solucionador raciocina com o mesmo valor exato. Não existe arredondamento para fazer uma resposta quase certa passar.

Como uma fusão pode expressar qualquer agrupamento com parênteses — as três fusões são uma árvore binária sobre os quatro números —, você nunca precisa de um botão de parênteses. A pergunta interessante nunca é "como escrevo", mas "qual par eu fundo, em que ordem e com qual operador".

O registro de fusões aparece acima das peças. Leia antes de apertar Desfazer: ele diz de qual par saiu cada valor, e normalmente isso basta para ver em que passo a posição se perdeu.

3. A faixa é um fato sobre as soluções, não uma pontuação

As três faixas não são um controle de dificuldade. Cada uma é uma afirmação sobre o que as soluções daquele desafio podem conter, e a biblioteca publicada cumpre a afirmação em todos os desafios:

• Fácil: existe alguma solução só com soma e subtração. Os 12/12 desafios fáceis têm pelo menos um caminho puramente aditivo, e 9 dos 12 têm exatamente 39 caminhos, todos aditivos.
• Médio: não existe solução aditiva, mas existe alguma que nunca sai dos inteiros. Os 12/12 desafios médios têm um caminho só com inteiros e nenhum tem um aditivo.
• Difícil: toda solução precisa de um passo fracionário. Os 12/12 desafios difíceis não têm nenhum caminho só com inteiros; os 34 caminhos da faixa difícil passam por uma fração.

Essa última linha é a que os jogadores não acreditam. A tabela mostra a menor fração que cada desafio difícil obriga a usar, medida em todos os seus caminhos:

Um desafio difícil não é "um desafio médio com números maiores". É um desafio cujo caminho mais curto até 24 passa por um valor que não é inteiro, e muitas vezes por um denominador 5, 7 ou 11. Se você recusa uma fração porque ela parece algo inacabado, não resolve nenhum desafio difícil. A faixa difícil não é uma amostra aleatória: de todos os conjuntos de quatro números formados com 1–13, só 16 têm solução e nenhum tem caminho só com inteiros. A biblioteca usa doze desses dezesseis.

4. Como se ganha de verdade em cada faixa

Agrupei os 577 caminhos de solução pelo operador da última fusão. O padrão é forte o bastante para planejar com ele:

A faixa fácil termina somando ou subtraindo — 95,9% dos caminhos. O último passo costuma juntar dois valores médios como 14 + 10, 15 + 9, 12 + 12 ou 25 − 1. Então no fácil não procure um produto: construa dois números cuja soma ou diferença seja 24.

A faixa média termina multiplicando — 72,7% dos caminhos acabam em ×, e as formas comuns são pares de fatores de 24: 6 × 4 (13 caminhos), 2 × 12 (9), 8 × 3 (8), 12 × 2 (4), 3 × 8 (3), 4 × 6 (1). Planeje de trás para frente: quais dois dos seus quatro números podem virar 6 e 4, ou 8 e 3, enquanto os outros dois produzem o segundo fator? A faixa média também é onde aparecem os intermediários negativos: #16 (1 3 5 7) ganha com 3 − 1 = 2, 5 + 7 = 12, 2 × 12 = 24, e #19 usa 5 × 13 = 65, 65 + 7 = 72, 72 ÷ 3 = 24.

A faixa difícil nunca termina com + nem com −. Seus 34 caminhos se dividem em duas formas:

• 24/k × k (24 caminhos): construa 24 dividido por um dos números e depois multiplique por esse número. #33 (3 3 7 7): 3 ÷ 7 = 3/7, 3 + 3/7 = 24/7, 24/7 × 7 = 24.
• x ÷ (1/k) (10 caminhos): construa 1 dividido por um dos números e depois divida por ele. #34 (3 3 8 8): 8 ÷ 3 = 8/3, 3 − 8/3 = 1/3, 8 ÷ 1/3 = 24.

É a faixa difícil inteira em duas frases. A fração não é desvio: é o mecanismo. Quando você vê a forma, os desafios "impossíveis" voltam a ser aritmética.

5. A abertura é a decisão

Cada desafio tem 36 fusões de abertura legais (6 pares sem ordem × 6 ordens de operador; nenhum par divide por zero nesta biblioteca). Testei as 1.296 e perguntei se as três peças restantes ainda chegavam a 24.

Uma primeira fusão aleatória é uma chance em quatro mesmo no fácil, e uma em catorze no difícil. É por isso que "vou tentar alguma coisa" parece ruim: na maioria das vezes você não está explorando, está encerrando o desafio.

O operador importa ainda mais que a faixa:

Multiplicar primeiro é o pior hábito do jogo. Cria um número grande, e um número grande é difícil de trazer de volta a 24 com duas fusões; só 4 dos 216 produtos de abertura da biblioteca inteira deixam uma posição vencível. Subtração e soma mantêm os valores numa faixa que você ainda consegue conduzir. A divisão é a exceção, e no difícil é a única coisa que funciona.

6. Faixa difícil: a primeira fusão tem que ser uma fração

Das 340 aberturas nos desafios difíceis que mantêm os dois operandos e o resultado como números inteiros, nenhuma sobrevive. As 30 aberturas que sobrevivem são divisões cujo resultado não é inteiro. É uma demonstração, não uma heurística: somar, subtrair ou multiplicar dois inteiros não cria fração, e toda posição só com inteiros num desafio difícil está morta, então a primeira fusão tem que ser uma divisão que deixe uma fração.

Os doze desafios difíceis, com as aberturas que realmente os mantêm vivos:

Repare na forma da abertura que sobrevive: é sempre o número menor dividido pelo maior, então o resultado fica abaixo de 1. Dividir ao contrário — 10 ÷ 2 = 5 no #30, 4 ÷ 3 = 4/3 no #25 — deixa um valor grande demais para voltar a 24 em duas fusões. No difícil, "divida pequeno por grande" é a primeira coisa a tentar.

7. "Já estou vendo 24" quase sempre é armadilha

Doze dos 36 desafios contêm dois números iniciais que se fundem exatamente em 24: nove pares que multiplicam para 24 e três que somam 24. Quase sempre é isca. Fundir esse par primeiro deixa os outros dois números com a tarefa de se combinar com 24 para dar 24, o que exige que eles produzam 1 (para × ou ÷) ou 0 (para + ou −). Normalmente não conseguem.

A medição: em 11 desses 12 desafios, a fusão que já lê 24 deixa a posição sem solução. A única exceção é #3 (3 8 9 10): 3 × 8 = 24, 10 − 9 = 1, 24 × 1 = 24. Todos os outros casos são becos sem saída, incluindo os quatro pares 3 × 8 do #34 (3 3 8 8), o desafio cuja resposta real divide 8 por 3 e nunca multiplica os 3 e os 8 diretamente.

A regra prática: quando vir um par que dá 24, não funda. Pergunte o que os outros dois números podem produzir e se 24 consegue absorver esse valor. Se a resposta não for 1 ou 0, o par é isca. No #34 o movimento vencedor é o que menos parece progresso: transformar 8 ÷ 3 numa fração.

8. A ordem importa: a primeira peça é o número da esquerda

Trocar as duas peças muda o resultado de − e ÷, e isso muda se o desafio sobrevive. Testei as duas direções de cada par em cada desafio: 41 casos ordenados em 20 dos 36 desafios passam de vitória a morte quando os operandos são invertidos.

Dois concretos:

• #3 (3 8 9 10): 10 − 9 = 1 mantém o desafio vivo; 9 − 10 = −1 mata.
• #34 (3 3 8 8): 8 ÷ 3 = 8/3 é o único tipo de abertura que ganha; 3 ÷ 8 = 3/8 está morta.

Então o hábito não é "escolha o maior primeiro" nem "escolha o menor primeiro". É: diga a subtração ou a divisão em voz alta na ordem que você quer — "dez menos nove", "oito dividido por três" — e toque primeiro no operando da esquerda. Em soma e multiplicação a ordem é livre, e é justamente por isso que são os operadores seguros para abrir.

Um detalhe relacionado: o jogo permite valores intermediários negativos, e a própria dica os usa. No #1 (1 6 9 10) a primeira fusão recomendada é 1 − 6 = −5, depois −5 − 9 = −14, depois 10 − (−14) = 24. Se um número negativo faz você parar e reiniciar, está jogando fora uma rota legal e muitas vezes necessária.

9. Dica, Desfazer, Reiniciar e a economia das estrelas

O build publicado não tem limite de movimentos, nem de tempo, nem penalidade por usar Desfazer. A única coisa que custa é a nota de estrelas, e as regras são exatas:

• 3 estrelas: a solução não usou Dica nem Desfazer.
• 2 estrelas: não usou Dica, mas usou Desfazer pelo menos uma vez.
• 1 estrela: usou Dica, não importa quantas vezes.

Desfazer não tem limite e volta exatamente uma fusão. Reiniciar recarrega o desafio e zera o contador de dicas, a marca de desfazer e o cronômetro, então um reinício limpo protege uma tentativa de três estrelas de um jeito que Desfazer não consegue. Seu melhor registro por desafio — primeiro estrelas, depois tempo — só é substituído por uma nota melhor ou, com a mesma nota, por um tempo mais rápido, então uma partida ruim nunca apaga uma boa. Fica só neste navegador, na chave pn.make-24.best.v1.

A Dica resolve a posição em que você está de verdade, não a posição inicial, e mostra uma fusão legal sem jogá-la. Cada toque bem-sucedido soma um ao contador de dicas. Se a posição atual não chega mais a 24, a Dica diz isso e não soma ao contador; ela pede que você desfaça um movimento. Isso transforma a Dica em verificador de posição além de solucionador: apertá-la depois de uma fusão suspeita é o jeito mais barato de saber se você matou o desafio. (Com uma só peça, a Dica não faz nada: a barra de status já diz que aquela peça não é 24, e Desfazer ou Reiniciar é a única saída.)

Duas consequências. Primeira: se você persegue estrelas, reinicie em vez de desfazer depois de um erro; Desfazer limita você a duas estrelas pelo resto da tentativa. Segunda: use a Dica como último recurso, não como primeiro movimento; a primeira sugestão do solucionador é a primeira fusão que a busca encontra numa ordem fixa de operadores (+, ×, −, ÷), não um julgamento sobre qual fusão ensina mais. Medido a partir da posição inicial, a Dica abre com subtração em 11 dos 12 desafios fáceis, com + em 8 dos 12 médios e com uma divisão em todos os 12 difíceis; o último não é preferência estilística, é o único tipo de primeira fusão que sobrevive.

10. Um ciclo de prática, com três exemplos

1. Leia a faixa primeiro. Fácil: mire numa soma ou subtração final. Médio: mire num par de fatores final (6 × 4, 8 × 3, 2 × 12). Difícil: aceite que a primeira fusão é uma divisão de pequeno por grande.
2. Escolha a abertura antes de tocar numa peça. Prefira + ou − no fácil e no médio, e só um ÷ que produza fração no difícil. Não abra com × a menos que tenha contado por quê.
3. Diga a direção em voz alta para − e ÷, e toque primeiro no operando da esquerda.
4. Conte a última jogada de trás para frente. Depois da abertura restam duas fusões: decida qual par final você precisa e verifique se a fusão do meio consegue produzi-lo.
5. Se a posição morrer, desfaça uma vez. Se está perseguindo estrelas, reinicie. Se não sabe se morreu, aperte Dica: ela diz sem cobrar.

Fácil, #1 (1 6 9 10): a solução da própria Dica é 1 − 6 = −5, depois −5 − 9 = −14, depois 10 − (−14) = 24. A lição não é o caminho exato, é que o valor negativo é uma ferramenta. Quem se recusa a descer de zero não vê saída.

Médio, #13 (1 2 3 5): 1 + 2 = 3, 3 + 5 = 8, 8 × 3 = 24. A última jogada é uma multiplicação, e os dois fatores saem dos pares — exatamente a forma média da seção 4. No médio, quando você vê um 6 e um 4, ou um 8 e um 3, normalmente está a uma fusão do fim.

Difícil, #34 (3 3 8 8): 8 ÷ 3 = 8/3, 3 − 8/3 = 1/3, 8 ÷ 1/3 = 24. É o desafio que as pessoas chamam de impossível porque 3 × 8 = 24 está logo ali e fundi-lo mata a posição. O caminho que funciona divide primeiro, subtrai para fazer uma fração unitária e depois divide por ela. #33 (3 3 7 7) usa a outra forma difícil: 3 ÷ 7 = 3/7, 3 + 3/7 = 24/7, 24/7 × 7 = 24.

11. Se travar: lista de verificação

1. Você abriu com ×? É a primeira coisa a desfazer: 98,1% dos produtos de abertura desta biblioteca estão mortos.
2. No difícil, sua primeira fusão é uma divisão de um número menor por um maior? Se não, você ainda não começou.
3. Você fundiu um par que já lia 24? Veja se os outros dois conseguem dar 1 ou 0; se não, desfaça.
4. Você tocou os operandos na ordem que queria para − ou ÷? Inverter é uma armadilha de 41 casos nesta biblioteca.
5. Você está recusando um negativo ou uma fração? Os dois são legais, e a faixa difícil exige a fração.
6. Você sabe qual final está mirando — soma ou subtração no fácil, par de fatores no médio, 24/k × k ou x ÷ (1/k) no difícil?
7. É um dos três desafios com um único caminho de solução (#19, #25, #26)? Então uma fusão errada é fatal; desfaça antes de tentar outra coisa.
8. Se ainda estiver perdido, aperte Dica uma vez. Ela resolve de novo a sua posição atual; se disser que não há caminho, desfaça, e se mostrar uma fusão, a posição ainda está viva.

Perguntas frequentes

Como se joga o jogo de 24?

Pegue quatro números, use cada um exatamente uma vez e combine-os com soma, subtração, multiplicação e divisão até sobrar um único valor: ele tem que ser exatamente 24. No Faça 24 você faz isso com três fusões: toque em duas peças, toque num operador e o par vira um resultado. A primeira peça é o operando da esquerda, então toque primeiro no número que você quer subtrair ou dividir.

O Faça 24 é o mesmo que o "24 game"?

É o nosso próprio build do desafio público dos quatro números, não uma cópia de nenhuma versão comercial. O desafio dos quatro números não tem autor único. 24 Game é marca registrada da Suntex International e 24game.com é um site comercial; o Faça 24 não é afiliado, endossado nem derivado dele, e o nome é usado só para descrição e busca.

Todo desafio do Faça 24 tem solução?

Sim: os 36 foram verificados offline com frações exatas, e a contagem de soluções que vem na biblioteca foi recalculada nesta sessão sem divergências. Cada desafio tem pelo menos um caminho até 24. Mas uma posição pode ficar sem solução depois de uma fusão errada; isso é um fato sobre o seu tabuleiro, não sobre o desafio. A Dica avisa quando isso acontece.

Preciso usar os quatro números?

Sim. Um movimento consome duas peças e deixa uma, então quatro números sempre pedem exatamente três fusões, e a peça final tem que ser 24. Não dá para pular um número nem reutilizar um resultado, e não existe atalho de dois movimentos.

Frações e números negativos são permitidos?

Sim, e a faixa difícil exige uma fração. Os valores ficam exatos — 8 ÷ 3 continua 8/3, nunca um decimal arredondado —, então o jogo não rejeita uma posição por erro de ponto flutuante. Intermediários negativos também são legais: no #1 (1 6 9 10) a linha vencedora passa por −5 e −14 e termina com 10 − (−14) = 24.

Por que multiplicar primeiro costuma falhar?

Porque um produto é grande e sobram só duas fusões. Na biblioteca inteira, só 4 de 216 produtos de abertura deixam uma posição vencível (1,9%), contra 25,5% ao abrir com soma e 22,9% com subtração. No difícil, toda abertura que fica nos inteiros está morta, então a primeira fusão tem que ser uma divisão que produza uma fração.

O que a faixa significa?

Ela descreve as soluções, não uma pontuação. Fácil tem uma solução que só usa soma e subtração. Médio não tem solução aditiva, mas tem uma que nunca sai dos inteiros. Difícil não tem nenhuma solução só com inteiros: todos os caminhos passam por uma fração, com denominadores obrigatórios de 2 a 11 conforme o desafio.

O que as estrelas significam?

Três estrelas por resolver sem Dica e sem Desfazer; duas se usou Desfazer mas não Dica; uma se usou Dica pelo menos uma vez. Desfazer não tem limite e só custa a terceira estrela. Reiniciar zera o contador de dicas e a marca de desfazer, então reiniciar protege uma tentativa de três estrelas. Suas melhores estrelas e tempo por desafio ficam neste navegador.

Por que a Dica às vezes diz que não há caminho até 24?

Porque a posição atual realmente não chega a 24: alguma fusão anterior estava errada. A Dica resolve de novo a posição em que você está, não o desafio inicial. Quando informa que não há caminho, não soma ao seu contador de dicas; desfaça uma fusão e tente outro par. Com uma só peça ela não faz nada, porque a barra de status já diz que aquela peça não é 24.

Quantos desafios existem e posso pular para um?

36, doze por faixa, numerados de 1 a 36. Use ?puzzle= com um número, um id ou uma faixa: ?puzzle=34, ?puzzle=hard ou ?puzzle=medium. Um valor inválido começa no desafio 1. As setas movem um por vez e o teclado também funciona: 1–4 escolhem peça, + − * / escolhem operador, U desfaz, H dá dica e R reinicia.

Dá para jogar o Faça 24 no celular?

Sim. As peças têm pelo menos 40 px nos dois eixos e os botões pelo menos 28 px de altura; o toque funciona com mouse, dedo ou caneta, e o layout foi conferido em 390×844 sem estouro. Não há download nem cadastro, e seus melhores tempos ficam no navegador em que você joga.