Стратегия «Сделай 24»: четыре числа, три хода и точные дроби (2026)

1. Библиотека: 36 фиксированных задач, 577 путей решения

«Сделай 24» даёт четыре целых числа и одну цель: оставить одну плитку, на которой ровно 24. Библиотека зафиксирована на 36 задачах, по двенадцать в каждой ступени, номера 1–36.

Путь решения — это полная последовательность из трёх слияний, заканчивающаяся на 24; числа точные, а не оценки. У всех двенадцати лёгких задач минимум 39 путей, поэтому они кажутся снисходительными. У сложной ступени всего 34 пути на двенадцать задач, а три задачи во всей библиотеке имеют ровно один путь: #19 (средняя, 3 5 7 13), #25 (сложная, 1 3 4 6) и #26 (сложная, 2 3 5 12). Там любое слияние вне пути делает задачу нерешаемой: «Отменить» — не удобство, а разница между «доделал» и «начал заново».

Ничего не генерируется во время игры. Каждая задача проверена офлайн тем же точным набором ходов, которым играете вы, а число решений из библиотеки пересчитано в этой сессии.

2. Ход — это слияние: три факта, которые решают всё

1. Ход берёт две плитки, применяет один оператор и оставляет один результат. Поэтому четыре числа всегда требуют ровно трёх слияний. Нельзя использовать число дважды или закончить за два хода.
2. Первая выбранная плитка — левый операнд. Выбрать 8, потом 3 и нажать минус — это 8 − 3 = 5; выбрать сначала 3 — 3 − 8 = −5. Сложению и умножению порядок безразличен, вычитанию и делению — нет. Раздел 8 показывает, почему это решает больше задач, чем кажется.
3. Запрещено только деление на ноль. Отрицательные результаты и дроби легальны и хранятся точно: 8 ÷ 3 остаётся 8/3, никогда не 2,666…, и решатель рассуждает с тем же точным значением. Никакого округления, которое пропустило бы почти правильный ответ.

Поскольку слияние может выразить любую расстановку скобок — три слияния это двоичное дерево над четырьмя числами — кнопка скобок не нужна. Интересный вопрос не «как это записать», а «какую пару слить, в каком порядке и каким оператором».

Журнал слияний показывается над плитками. Прочитайте его перед «Отменить»: он говорит, какое значение из какой пары вышло, и обычно этого достаточно, чтобы увидеть, где позиция испортилась.

3. Ступень — это факт о решениях, а не оценка

Три ступени — не ползунок сложности. Каждая — утверждение о том, что могут содержать решения этой задачи, и выпущенная библиотека выполняет его в каждой задаче:

• Лёгкая: существует решение только на сложении и вычитании. У 12/12 лёгких задач есть хотя бы один чисто аддитивный путь, а у 9 из 12 ровно 39 путей, и все они аддитивные.
• Средняя: аддитивного решения нет, но есть решение, не выходящее за целые числа. У 12/12 средних задач есть целочисленный путь и ни у одной нет аддитивного.
• Сложная: любое решение требует дробного шага. У 12/12 сложных задач нет ни одного целочисленного пути; все 34 пути сложной ступени проходят через дробь.

Последнюю строку игроки не верят. Таблица показывает наименьшую дробь, которую каждая сложная задача вынуждает использовать, по всем её путям:

Сложная задача — не «средняя с большими числами». Это задача, у которой кратчайший путь к 24 идёт через нецелое значение, часто со знаменателем 5, 7 или 11. Если вы отвергаете дробь, потому что она выглядит незаконченной, вы не решите ни одной сложной задачи. Сложная ступень — не случайная выборка: из всех наборов четырёх чисел, которые можно составить из 1–13, решение есть только у 16, и ни у одного нет чисто целочисленного пути. Библиотека использует двенадцать из этих шестнадцати.

4. Как на самом деле выглядит победа в каждой ступени

Я сгруппировал все 577 путей по оператору последнего слияния. Закономерность достаточно сильная, чтобы по ней планировать:

Лёгкая ступень заканчивается сложением или вычитанием — 95,9% её путей. Последний ход обычно соединяет два средних значения вроде 14 + 10, 15 + 9, 12 + 12 или 25 − 1. Поэтому на лёгкой не ищите произведение: стройте два числа, сумма или разность которых равна 24.

Средняя ступень заканчивается умножением — 72,7% её путей кончаются на ×, и обычные формы — пары множителей 24: 6 × 4 (13 путей), 2 × 12 (9), 8 × 3 (8), 12 × 2 (4), 3 × 8 (3), 4 × 6 (1). Планируйте с конца: какие два из четырёх чисел могут стать 6 и 4 или 8 и 3, пока два других делают второй множитель? Средняя ступень — ещё и место отрицательных промежуточных значений: #16 (1 3 5 7) побеждает через 3 − 1 = 2, 5 + 7 = 12, 2 × 12 = 24, а #19 использует 5 × 13 = 65, 65 + 7 = 72, 72 ÷ 3 = 24.

Сложная ступень никогда не заканчивается на + или −. Её 34 пути делятся на две формы:

• 24/k × k (24 пути): постройте 24, делённое на одно из чисел, затем умножьте на это число. #33 (3 3 7 7): 3 ÷ 7 = 3/7, 3 + 3/7 = 24/7, 24/7 × 7 = 24.
• x ÷ (1/k) (10 путей): постройте 1, делённую на одно из чисел, затем разделите на неё. #34 (3 3 8 8): 8 ÷ 3 = 8/3, 3 − 8/3 = 1/3, 8 ÷ 1/3 = 24.

Вот и вся сложная ступень в двух фразах. Дробь — не обход, а сам механизм. Когда форма видна, «невозможные» задачи снова становятся арифметикой.

5. Первое слияние — это решение

В каждой задаче 36 легальных первых слияний (6 неупорядоченных пар × 6 порядков оператора; ни одна пара в этой библиотеке не делит на ноль). Я проверил все 1 296 и спросил, могут ли оставшиеся три плитки всё ещё дойти до 24.

Случайное первое слияние — это шанс один к четырём даже на лёгкой и один к четырнадцати на сложной. Поэтому «попробую что-нибудь» ощущается плохо: чаще всего вы не исследуете, а заканчиваете задачу.

Оператор значит ещё больше, чем ступень:

Умножать первым — худшая привычка в игре. Получается большое число, а большое число трудно вернуть к 24 за два слияния; только 4 из 216 первых произведений во всей библиотеке оставляют выигрышную позицию. Вычитание и сложение держат значения в диапазоне, которым ещё можно управлять. Деление — исключение, и на сложной ступени только оно и работает.

6. Сложная ступень: первое слияние обязано быть дробью

Из 340 первых слияний в сложных задачах, где оба операнда и результат остаются целыми, не выживает ни одно. Все 30 выживающих слияний — деления, результат которых не целый. Это доказательство, а не эвристика: сложение, вычитание и умножение двух целых не создают дробь, а любая чисто целочисленная позиция сложной задачи мертва, значит первое слияние должно быть делением, оставляющим дробь.

Двенадцать сложных задач и слияния, которые действительно оставляют их живыми:

Посмотрите на форму выживающего слияния: всегда меньшее число делится на большее, поэтому результат меньше 1. Деление наоборот — 10 ÷ 2 = 5 в #30, 4 ÷ 3 = 4/3 в #25 — оставляет слишком большое значение, чтобы свернуть его в 24 за два хода. На сложной ступени «дели меньшее на большее» — первое, что стоит попробовать.

7. «Я уже вижу 24» — почти всегда ловушка

В двенадцати из 36 задач есть два стартовых числа, которые сливаются ровно в 24: девять пар с произведением 24 и три пары с суммой 24. Это почти всегда приманка. Если слить такую пару первой, двум оставшимся числам придётся соединиться с 24 так, чтобы снова вышло 24, а для этого они должны дать 1 (для × или ÷) или 0 (для + или −). Обычно они не могут.

Измерение: в 11 из этих 12 задач слияние, которое уже читается как 24, делает позицию невыигрышной. Единственное исключение — #3 (3 8 9 10): 3 × 8 = 24, 10 − 9 = 1, 24 × 1 = 24. Все остальные случаи — тупик, включая все четыре пары 3 × 8 в #34 (3 3 8 8) — задаче, настоящий ответ которой делит 8 на 3 и никогда не умножает 3 и 8 напрямую.

Практическое правило: увидев пару, дающую 24, не сливайте её. Спросите, что могут дать другие два числа и примет ли 24 это значение. Если ответ не 1 и не 0, пара — приманка. В #34 выигрышный ход — тот, который меньше всего похож на прогресс: превратить 8 ÷ 3 в дробь.

8. Порядок важен: первая плитка — левое число

Поменять две плитки местами — изменить результат − и ÷, а это меняет, выживет ли задача. Я проверил оба направления для каждой пары в каждой задаче: 41 упорядоченный случай в 20 из 36 задач переходит из выигрыша в смерть при перестановке операндов.

Два конкретных:

• #3 (3 8 9 10): 10 − 9 = 1 оставляет задачу живой; 9 − 10 = −1 убивает.
• #34 (3 3 8 8): 8 ÷ 3 = 8/3 — единственный тип первого слияния, который выигрывает; 3 ÷ 8 = 3/8 мертво.

Так что привычка не «сначала большее» и не «сначала меньшее». Она такая: проговорите вычитание или деление в нужном порядке — «десять минус девять», «восемь разделить на три» — и сначала нажмите левый операнд. В сложении и умножении порядок свободен, именно поэтому это безопасные операторы для начала.

Связанная деталь: игра разрешает отрицательные промежуточные значения, и подсказка сама ими пользуется. В #1 (1 6 9 10) рекомендуемое первое слияние — 1 − 6 = −5, затем −5 − 9 = −14, затем 10 − (−14) = 24. Если отрицательное число заставляет вас остановиться и начать заново, вы выбрасываете легальный и часто необходимый маршрут.

9. Подсказка, «Отменить», «Заново» и экономика звёзд

В выпущенном build нет ни лимита ходов, ни лимита времени, ни штрафа за «Отменить». Платить приходится только рейтингом звёзд, и правила точные:

• 3 звезды: решение без подсказки и без отмены.
• 2 звезды: без подсказки, но отмена использовалась хотя бы раз.
• 1 звезда: подсказка использовалась, сколько бы раз ни было.

Отмена не ограничена и откатывает ровно одно слияние. «Заново» перезагружает задачу и сбрасывает счётчик подсказок, флаг отмены и таймер, поэтому чистый перезапуск защищает попытку на три звезды так, как отмена не может. Лучший результат по задаче — сначала звёзды, потом время — заменяется только лучшим рейтингом или при равном рейтинге более быстрым временем, так что плохой заход никогда не затирает хороший. Он хранится только в этом браузере, под ключом pn.make-24.best.v1.

Подсказка решает ту позицию, в которой вы реально находитесь, а не стартовую, и показывает одно легальное слияние, не играя его. Каждое успешное нажатие добавляет одну подсказку. Если текущая позиция уже не может дойти до 24, подсказка говорит это и не увеличивает счётчик; она просит отменить ход. Так подсказка становится ещё и проверкой позиции: нажать её после подозрительного слияния — самый дешёвый способ узнать, не убили ли вы задачу. (Когда осталась одна плитка, подсказка не делает ничего: строка состояния уже говорит, что это не 24, и остаётся только отмена или перезапуск.)

Два следствия. Первое: если вы гонитесь за звёздами, после ошибки начинайте заново, а не отменяйте — отмена запирает остаток попытки на двух звёздах. Второе: подсказка — последнее средство, а не первый ход; первое предложение решателя — это первое слияние, которое его поиск находит в фиксированном порядке операторов (+, ×, −, ÷), а не суждение о том, какое слияние полезнее для обучения. По измерению со стартовой позиции подсказка начинает с вычитания в 11 из 12 лёгких задач, с + в 8 из 12 средних и с деления во всех 12 сложных; последнее — не стилистическое предпочтение, а единственный тип первого слияния, который выживает.

10. Цикл практики и три примера

1. Сначала прочитайте ступень. Лёгкая: цель — итоговая сумма или разность. Средняя: цель — итоговая пара множителей (6 × 4, 8 × 3, 2 × 12). Сложная: примите, что первое слияние — деление меньшего на большее.
2. Выберите первое слияние до того, как коснётесь плитки. На лёгкой и средней предпочитайте + или −, на сложной — только ÷, дающее дробь. Не начинайте с ×, если не посчитали почему.
3. Проговорите направление для − и ÷ и сначала нажмите левый операнд.
4. Посчитайте последний ход с конца. После первого слияния остаётся два: решите, какой должна быть финальная пара, и проверьте, может ли среднее слияние её дать.
5. Если позиция умерла, отмените один раз. Если гонитесь за звёздами — начинайте заново. Если не уверены, мертва ли она, нажмите подсказку: она скажет, не списав попытку.

Лёгкая, #1 (1 6 9 10): решение самой подсказки — 1 − 6 = −5, затем −5 − 9 = −14, затем 10 − (−14) = 24. Урок не в точном пути, а в том, что отрицательное значение — инструмент. Кто отказывается уходить ниже нуля, не видит выхода.

Средняя, #13 (1 2 3 5): 1 + 2 = 3, 3 + 5 = 8, 8 × 3 = 24. Последний ход — умножение, и оба множителя строятся из пар: ровно средняя форма из раздела 4. На средней ступени, увидев 6 и 4 или 8 и 3, вы обычно в одном слиянии от финала.

Сложная, #34 (3 3 8 8): 8 ÷ 3 = 8/3, 3 − 8/3 = 1/3, 8 ÷ 1/3 = 24. Это задачу называют невозможной, потому что 3 × 8 = 24 лежит прямо перед глазами, а слияние этой пары убивает позицию. Рабочий путь сначала делит, вычитанием делает единичную дробь, затем делит на неё. #33 (3 3 7 7) использует другую сложную форму: 3 ÷ 7 = 3/7, 3 + 3/7 = 24/7, 24/7 × 7 = 24.

11. Если застряли: контрольный список

1. Вы начали с ×? Это первое, что нужно отменить: 98,1% первых произведений в этой библиотеке мертвы.
2. На сложной ступени ваше первое слияние — деление меньшего числа на большее? Если нет, вы ещё не начали.
3. Вы слили пару, которая уже читалась как 24? Проверьте, могут ли два других дать 1 или 0; если нет, отмените.
4. Вы нажали операнды в нужном порядке для − или ÷? Обратный порядок — ловушка на 41 случай в этой библиотеке.
5. Вы отказываетесь от отрицательного значения или дроби? И то и другое легально, а сложная ступень требует дробь.
6. Вы знаете, какой финал вам нужен: сумма или разность на лёгкой, пара множителей на средней, 24/k × k или x ÷ (1/k) на сложной?
7. Это одна из трёх задач с единственным путём (#19, #25, #26)? Тогда одно неверное слияние фатально; отмените, прежде чем пробовать другое.
8. Если всё ещё не видите — нажмите подсказку один раз. Она заново решает вашу текущую позицию; если говорит, что пути нет, отмените, а если показывает слияние, позиция ещё жива.

Частые вопросы

Как играть в игру «24»?

Возьмите четыре числа, используйте каждое ровно один раз и соединяйте их сложением, вычитанием, умножением и делением, пока не останется одно значение: оно должно быть ровно 24. В «Сделай 24» это три слияния: нажмите две плитки, нажмите оператор, и пара становится одним результатом. Первая плитка — левый операнд, поэтому сначала нажимайте то число, которое хотите вычесть или разделить.

«Сделай 24» — это то же самое, что «24 game»?

Нет, это наша собственная реализация публичной головоломки с четырьмя числами, а не копия коммерческой версии. У головоломки нет одного автора. 24 Game — зарегистрированная марка Suntex International, 24game.com — коммерческий сайт; «Сделай 24» не связан с ней, не одобрен ею и не произведён от неё, а название используется только для описания и поиска.

Все задачи в «Сделай 24» решаемы?

Да: все 36 проверены офлайн с точными дробями, а число решений из библиотеки пересчитано в этой сессии без расхождений. У каждой задачи есть хотя бы один путь к 24. Но после неверного слияния позиция может стать нерешаемой; это факт о вашей доске, а не о задаче. Подсказка говорит, когда это случилось.

Нужно ли использовать все четыре числа?

Да. Ход расходует две плитки и оставляет одну, поэтому четыре числа всегда требуют ровно трёх слияний, и последняя плитка должна быть 24. Пропустить число или повторно использовать результат нельзя, и сокращения за два хода не существует.

Разрешены ли дроби и отрицательные числа?

Да, и сложная ступень требует дроби. Значения хранятся точно — 8 ÷ 3 остаётся 8/3, никогда не округлённой десятичной дробью — поэтому игра не отклонит позицию из-за ошибки плавающей точки. Отрицательные промежуточные значения тоже легальны: в #1 (1 6 9 10) выигрышная линия проходит через −5 и −14 и заканчивается на 10 − (−14) = 24.

Почему умножение первым обычно не работает?

Потому что произведение большое, а остаётся всего два слияния. Во всей библиотеке только 4 из 216 первых произведений оставляют выигрышную позицию (1,9%), против 25,5% при начале со сложения и 22,9% с вычитания. На сложной ступени любое начало, остающееся целым, мертво, поэтому первое слияние должно быть делением, дающим дробь.

Что означает ступень?

Она описывает решения, а не оценку. Лёгкая имеет решение только на сложении и вычитании. Средняя не имеет аддитивного решения, но имеет не выходящее за целые. Сложная не имеет ни одного чисто целочисленного решения: каждый путь проходит через дробь, с обязательными знаменателями от 2 до 11 в зависимости от задачи.

Что означают звёзды?

Три звезды за решение без подсказки и без отмены; две, если отмена была, а подсказки нет; одна, если подсказка использовалась хотя бы раз. Отмена не ограничена и стоит только третьей звезды. «Заново» сбрасывает счётчик подсказок и флаг отмены, поэтому перезапуск защищает попытку на три звезды. Ваши лучшие звёзды и время по задаче хранятся в этом браузере.

Почему подсказка иногда говорит, что пути к 24 нет?

Потому что текущая позиция действительно больше не может дойти до 24: какое-то предыдущее слияние было неверным. Подсказка заново решает позицию, в которой вы находитесь, а не стартовую задачу. Когда она сообщает об отсутствии пути, счётчик подсказок не растёт; отмените одно слияние и попробуйте другую пару. С одной плиткой она не делает ничего, потому что строка состояния уже говорит, что это не 24.

Сколько задач и можно ли перейти к конкретной?

36, по двенадцать в каждой ступени, номера 1–36. Используйте ?puzzle= с номером, id или ступенью: ?puzzle=34, ?puzzle=hard или ?puzzle=medium. Неверное значение начинает с задачи 1. Стрелки двигают по одной задаче, клавиатура тоже работает: 1–4 выбирают плитку, + − * / — оператор, U отменяет, H даёт подсказку, R начинает заново.

Можно ли играть в «Сделай 24» на телефоне?

Да. Плитки не меньше 40 px по обеим осям, кнопки не ниже 28 px; нажатие работает мышью, пальцем или пером, а макет проверен на 390×844 без переполнения. Скачивать и регистрироваться не нужно, а лучшие результаты остаются в том браузере, где вы играете.