凑 24 策略：四个数字、三步合并、精确分数（2026）

1. 题库：36 道冻结题，577 条解路径

凑 24 给你四个整数和一个目标：最后只剩一个数字，而且必须正好是 24。题库冻结在 36 道，每档十二道，编号 1–36。

一条“解路径”就是三回合并完、终点正好 24 的完整走法；这些计数是精确值，不是估计。十二道简单题每一道都至少有 39 条路径，所以它们显得宽容。困难档十二道加起来只有 34 条路径，而全库只有三道题只有 一条 路径：19 号（中等，3 5 7 13）、25 号（困难，1 3 4 6）、26 号（困难，2 3 5 12）。这三道上，任何一步不在解路径上的合并都会让题目变成死局——悔一步在那里不是方便，而是“还能不能做完”的分界线。

没有任何题目是运行时生成的。每一道都用和你实际操作的同一套规则离线验证过可解，题库自带的解数本场也逐题重算过。

2. 一回合就是一次合并：决定一切的三件事

1. 一次移动取两个数字、用一个运算符、留下一个结果。 所以四个数字永远恰好三步合并。你不能重复用某个数字，也不能两步收工。
2. 你先点的那个数字是左边的数。 先点 8 再点 3，按减号，算的是 8 − 3 = 5；先点 3 就是 3 − 8 = −5。加法和乘法不在乎顺序，减法和除法在乎。第 8 节会说明它比看上去更能决定成败。
3. 只有除以零是非法的。 负数和分数都合法，而且按精确值保留：8 ÷ 3 就是 8/3，永远不会变成 2.666…，求解器用的也是同一个精确值。这里没有“四舍五入后差不多就算对”。

因为一次合并可以表达任意括号结构——三步合并就是四个数字上的一棵二叉树——所以你永远不需要括号按钮。真正的问题从来不是“怎么写出来”，而是“先并哪一对、按什么方向、用哪个运算符”。

棋盘上方写着合并日志。按悔一步之前先看一眼：它告诉你哪个结果来自哪一对，通常看这一行就知道局面是从哪一步开始坏的。

3. 档位是解的性质，不是评分

三个档位不是难度滑条，而是一句关于“这道题的解允许含什么”的声明。题库里每一道题都满足自己那一档的声明：

• 简单——存在只用加减的解。 12/12 道简单题都至少有一条纯加减路径；其中 9 道恰好有 39 条路径，而且全是加减。
• 中等——不存在纯加减解，但存在全程整数的解。 12/12 道中等题都有一条不离开整数的路径，同时一道纯加减解都没有。
• 困难——每一条解都必须经过分数。 12/12 道困难题都没有任何纯整数路径；困难档全部 34 条路径都经过分数。

最后一句最常被玩家怀疑。下表列出每道困难题“最少必须接受多大的分母”，按它的所有路径统计：

困难题不是“数字更大的中等题”。它是“通往 24 的最短路线必须穿过一个非整数”的题，而且分母经常是 5、7、11。如果你因为分数看起来“没做完”而拒绝接受它，那你就一道困难题也做不出来。 困难档不是随机抽样：在 1–13 能取出的所有四数组合里，只有 16 组 有解、而且完全不存在纯整数解。题库用了其中十二组。

4. 每一档的胜利长什么样

我把全部 577 条解路径按 最后一回合 的运算符分组，规律强到可以拿来规划：

简单档靠加法或减法收尾——占它 95.9% 的路径。最后一步通常是两个中等大小的数，比如 14 + 10、15 + 9、12 + 12 或 25 − 1。所以在简单档别去凑乘积，目标应该是“两个数相加或相减等于 24”。

中等档靠乘法收尾——72.7% 的路径以 × 结束，而且形状几乎总是 24 的因数对：6 × 4（13 条）、2 × 12（9 条）、8 × 3（8 条）、12 × 2（4 条）、3 × 8（3 条）、4 × 6（1 条）。请倒着规划：手上哪两个数能变成 6 和 4，或者 8 和 3，另外两个数又怎么变成另一个因数？中等档也是负数中间值出现的地方：16 号（1 3 5 7）用 3 − 1 = 2、5 + 7 = 12、2 × 12 = 24 收工；19 号用 5 × 13 = 65、65 + 7 = 72、72 ÷ 3 = 24。

困难档从不以加或减收尾。 它的 34 条路径只有两种形状：

• 24/k × k（24 条）：先做出“24 除以某个数”，再乘回那个数。33 号（3 3 7 7）：3 ÷ 7 = 3/7，3 + 3/7 = 24/7，24/7 × 7 = 24。
• x ÷ (1/k)（10 条）：先做出“1 除以某个数”，再除以它。34 号（3 3 8 8）：8 ÷ 3 = 8/3，3 − 8/3 = 1/3，8 ÷ 1/3 = 24。

困难档的整档逻辑就这两句话。分数不是绕路，它就是机制本身。看懂形状之后，“不可能”的题就变回算术。

5. 开局就是决策

每道题都有 36 种合法开局（6 个无序对 × 6 种运算符方向；这个题库里没有哪一对会除以零）。我把 1,296 种全试了一遍，逐一判断剩下的三个数字还能不能到 24。

随便并一步，在简单档也只有四分之一的机会活下来，困难档是十四分之一。这就是“先试试看”感觉很差的原因：大多数时候你不是在探索，而是在结束这道题。

运算符的影响比档位还大：

先乘是这游戏里最坏的习惯。它会把数变得很大，而一个大数只剩两步时要拉回 24 非常难；全库 216 种“开局乘积”里只有 4 种还留下可解局面。减法和加法把数值留在还能操控的范围内。除法是例外，而在困难档它是唯一可行的开局。

6. 困难档：第一步必须除出分数

困难题里，两个操作数和结果都保持整数的开局一共 340 种，没有一种 能活。活下来的 30 种开局全部是“结果不是整数”的除法。这是证明，不是经验：两个整数相加、相减、相乘都不可能产生分数，而困难题上所有“还是整数”的局面都是死的，所以第一步只能是一个除出分数的除法。

十二道困难题，以及真正能让它们活下来的开局：

看这些开局的方向：永远是 小的数除以大的数，结果小于 1。反过来除——30 号上的 10 ÷ 2 = 5、25 号上的 4 ÷ 3 = 4/3——留下的数值太大，两步之内折不回 24。困难档的第一反应应该是“小除大”。

7. “我已经看到 24 了”通常是个陷阱

36 道题里有 12 道，开局就存在两个数能直接并成 24：九对相乘得 24，三对相加得 24。这几乎总是诱饵。先把那一对并成 24，剩下两个数就得和 24 再并一次变成 24，这就要求它们做出 1（配合 × 或 ÷）或 0（配合 + 或 −）。它们通常做不到。

实测结果：这 12 道里有 11 道，“先并出 24”会让局面直接变成死局。唯一的例外是 3 号（3 8 9 10）：3 × 8 = 24，10 − 9 = 1，24 × 1 = 24。其余全是死路，包括 34 号（3 3 8 8） 上四对 3 × 8——那道题真正的答案是先除 8 ÷ 3，根本不直接乘 3 和 8。

实用规则：看到能并成 24 的一对，先别并。问自己“另外两个数能做出什么”，以及“24 能不能吸收这个值”。如果答案不是 1 或 0，那一对就是诱饵。34 号上真正能赢的那一步，看上去最不像进展：把 8 ÷ 3 变成一个分数。

8. 顺序要紧：先点的数是左边的数

交换两个数字会改变 − 和 ÷ 的结果，而结果决定局面死不死。我把每道题的每一对都按两个方向试过：全库有 41 个有序情形、分布在 20 道题上，交换操作数就从“能赢”变成“死局”。

两个具体例子：

• 3 号（3 8 9 10）： 10 − 9 = 1 能活；9 − 10 = −1 直接死。
• 34 号（3 3 8 8）： 8 ÷ 3 = 8/3 是唯一一类能赢的开局；3 ÷ 8 = 3/8 是死的。

所以习惯不是“先点大的”或“先点小的”，而是：把你要做的减法或除法按顺序念出来——“十减九”“八除以三”——然后先点左边那个操作数。加法和乘法顺序随意，这也正是它们适合当开局运算符的原因。

还有一个相关细节：游戏允许负数中间值，提示自己就会用。1 号（1 6 9 10）推荐的第一步就是 1 − 6 = −5，然后 −5 − 9 = −14，最后 10 − (−14) = 24。如果一看到负数就停手重开，你扔掉的是一条合法而且经常必要的路线。

9. 提示、悔一步、重开与星级经济学

线上 build 没有步数限制、没有时间限制，悔一步也不罚款。唯一有代价的是星级，规则是精确的：

• 三星： 整局没用提示，也没悔过步。
• 两星： 没用提示，但至少悔过一次步。
• 一星： 用过提示，用几次都一样。

悔一步不设上限，每次正好退回一次合并。重开 会重新载入当前这道题，并清空提示次数、悔步标记和计时器，所以想保住三星，重开比悔步更干净。每道题的最好记录——先比星级，再比时间——只有“星级更高”或“星级相同但更快”才会被覆盖，差的一局永远不会盖掉好的一局。记录只存在本浏览器，键名是 pn.make-24.best.v1。

提示解的是你现在这个局面，不是开局，而且只显示一次合法合并，不替你落子。每成功按一次，提示计数加一。如果当前局面已经到不了 24，提示会直接说“到不了”，并且 不 计数，让你先悔一步。所以提示既是求解器也是局面检查器：一步可疑的合并之后按一下提示，是判断自己有没有把题弄死的最便宜办法。（只剩一个数字时提示什么也不做——状态栏已经告诉你它不是 24，只能悔一步或重开。）

两个推论。第一，如果你在意星级，犯错之后 重开而不是悔步：悔一步会把这一局的上限锁在两星。第二，把提示留到最后一招，而不是第一步——求解器给的是它按固定顺序（+、×、−、÷）搜到的第一个合并，不是“最有教学价值”的一步。按开局局面实测，提示在 12 道简单题里有 11 道先建议减法，在 12 道中等题里有 8 道先建议加法，而在 全部 12 道 困难题上都先建议除法——最后这个不是偏好，是唯一能活的类型。

10. 一套练习循环，附三个例子

1. 先读档位。 简单：目标是最后的和或差。中等：目标是最后的因数对（6 × 4、8 × 3、2 × 12）。困难：接受“第一步是小除大”。
2. 点棋子之前先定开局。 简单和中等优先 + 或 −，困难只考虑能除出分数的 ÷。没有算清楚之前不要用 × 开局。
3. 做 − 和 ÷ 时把方向念出来，先点左边的操作数。
4. 倒着数最后一步。 开局之后只剩两次合并：先决定最后那一对应该是什么，再看中间那一步能不能做出它。
5. 局面死了就悔一步。 如果在追星级，改成重开。不确定死没死，就按提示——它会告诉你，而且不计数。

简单，1 号（1 6 9 10）： 提示给出的解是 1 − 6 = −5，−5 − 9 = −14，10 − (−14) = 24。重点不是这条具体路径，而是“负数也是工具”。一个拒绝走到零以下的玩家，在这道题上看不到任何出路。

中等，13 号（1 2 3 5）： 1 + 2 = 3，3 + 5 = 8，8 × 3 = 24。最后一步是乘法，两个因数由两对数字分别做出来——正是第 4 节说的中等形状。在中等档，一旦你能看见一个 6 和一个 4，或者一个 8 和一个 3，通常就只差一步。

困难，34 号（3 3 8 8）： 8 ÷ 3 = 8/3，3 − 8/3 = 1/3，8 ÷ 1/3 = 24。这道题被人叫“不可能”，是因为 3 × 8 = 24 就摆在眼前，而先并它恰好会杀死局面。能赢的路线先除、再减出一个单位分数、最后除以它。33 号（3 3 7 7）用的是困难档的另一种形状：3 ÷ 7 = 3/7，3 + 3/7 = 24/7，24/7 × 7 = 24。

11. 卡住时的检查表

1. 你是不是用 × 开的局？这是第一个该悔的——本题库里 98.1% 的开局乘积都是死的。
2. 在困难档，你的第一步是不是“小数除以大数”？如果不是，你还没真正开始。
3. 你是不是并了那对已经读出 24 的数字？看看另外两个能不能做出 1 或 0；不能就悔。
4. − 或 ÷ 的时候，你有没有按你想要的顺序点操作数？在这个题库里，反序是 41 个陷阱。
5. 你是不是在拒绝负数或分数？两者都合法，而且困难档必须用分数。
6. 你知不知道自己这一档要瞄准什么收尾——简单的和/差、中等的因数对、困难的 24/k × k 或 x ÷ (1/k)？
7. 这道题是不是那三道只有一条解路径的题（19、25、26）？是的话，一步错就无解，先悔再试。
8. 还是没头绪，就按一次提示。它重解你当前的局面；说“到不了”就悔一步，给出合并就说明局面还活着。

常见问题

24 点怎么玩？

四个数字，每个正好用一次，用加、减、乘、除把它们并成一个数，最后必须正好是 24。 在凑 24 里就是三步：点两个数字、点一个运算符，这一对变成一个结果。先点的数字是左边的操作数，所以减法和除法要先点你打算放在左边的那个数。

凑 24 和 “24 Game” 是同一个东西吗？

不是，这是我们自己实现的四数字算术谜题，不是任何商业版本的复制。 四数字凑 24 这种玩法没有单一作者。24 Game 是 Suntex International 的注册商标，24game.com 是商业站点；凑 24 与其没有关联、未获其背书、也不是从它派生，名字只用于描述和搜索。

每道题都一定有解吗？

有——36 道全部用精确分数离线验证过可解，题库自带的解数本场也逐题重算，零不符。 每道题至少有一条到 24 的路径。但一步错合并之后，你当前的局面 可以变成无解；那是棋盘的事实，不是题目的事实。提示会在这种时候告诉你。

必须四个数字都用上吗？

必须。 一次合并消耗两个数字、留下一个结果，所以四个数字永远恰好三步，最后一个数字必须是 24。不能跳过某个数，也不能重复使用某个结果，更没有两步的捷径。

允许分数和负数吗？

允许，而且困难档必须用分数。 数值按精确值保留——8 ÷ 3 就是 8/3，不会变成四舍五入的小数——所以游戏不会因为浮点误差误判局面。负数中间值也合法：1 号（1 6 9 10）的获胜路线就经过 −5 和 −14，最后用 10 − (−14) = 24 收尾。

为什么先乘通常会失败？

因为乘积太大，而你只剩两次合并。 全库里 216 种开局乘积只有 4 种还留下可解局面（1.9%），而开局用加法是 25.5%、用减法是 22.9%。在困难档，所有“仍然整数”的开局都是死的，所以第一步必须是能除出分数的除法。

档位到底是什么意思？

它描述的是解，不是评分。 简单档存在一条只用加减的解。中等档没有纯加减解，但存在一条全程整数的解。困难档完全没有纯整数解：每一条路径都经过分数，按题目不同，必须用到的分母从 2 到 11。

星级怎么算？

不用提示也不悔步＝三星；用了悔步但没用提示＝两星；用过提示＝一星。 悔一步不限次数，只让你拿不到三星。重开会清空提示次数和悔步标记，所以想保三星就重开。每道题的最好星级和时间只存在本浏览器。

为什么提示有时说“到不了 24”？

因为当前局面确实到不了——前面某一步合并错了。 提示解的是你现在的位置，不是开局那道题。它说“到不了”时不会增加提示计数；悔一步，换一对数字再试。只剩一个数字时它什么也不做，因为状态栏已经告诉你那不是 24。

一共多少道题，能直接跳关吗？

36 道，每档十二道，编号 1–36。 用 ?puzzle= 加关号、题号或档位：?puzzle=34、?puzzle=hard、?puzzle=medium。无效值会从第 1 题开始。左右箭头逐题移动，键盘也能用——1–4 选数字，+ − * / 选运算符，U 悔一步，H 提示，R 重开。

手机上能玩吗？

能。 数字块两个方向都至少 40px，按钮至少 28px 高；鼠标、触摸、手写笔都按一次点按处理，390×844 的布局检查过没有溢出。不用下载、不用注册，最好成绩只留在你玩的这个浏览器里。