ボール ソート パズル攻略：空の管、par、12 の固定レベル（2026）

1. ライブラリを数字で見る：12 レベル、192 個、3 セット

このビルドには 3 段階×4 の固定配りが 12 個入っています。実行時に生成されるものはないので、ライブラリ全体の形は推測ではなく数えられます。

この表だけで、この先のほとんどが説明できます。

どのレベルも、玉が入っている管は最初から満杯です。 どの段階でも「半分空いた管」で工作する余地はありません。配りのうち自由に使える空間は、そのまま空の管です。やさしい・ふつうは 2 本、むずかしいは 1 本だけ。

むずかしいは 20 個しかないのに、par はやさしいの 2〜3 倍です。 これは難易度のラベルではなく算数です。空の管が 1 本しかないと、どの玉も正しい場所に着くまで何度も移し替える必要があります。ライブラリ全体の par は合計 199 手で、玉は 192 個。やさしい・ふつうは玉 1 個あたり 1 手未満（42/48、57/64）、むずかしいは 80 個に 100 手、つまり 1 個あたり 1.25 手です。

配りは意図的に混ぜてあります。 生成器は「管が最初から完成している（4 個同色）」盤面と「ある色がすでに揃っている」盤面を捨てるので、初手が無料の勝利になることはありません。固定配りで測ると、1 本の管の中で同じ色が続く最長は 3、4 個同色が入った管はひとつもありません。むずかしいが最も平らで、80 個のうち自分の色に触れている玉は 4 個だけ（やさしいは 48 中 8、ふつうは 64 中 9）。

2. par は探索の結果であって見積もりではない

各レベルの par は、ページが実際に使う移動集合そのものに対する幅優先探索から出ています。1 手で 1 個、空の管か同じ色の上へ、管は 4 個を超えない。最初に解に到達した深さが par です。

プローブは同じ探索を公開ライブラリで再実行しました。12 個の par はすべて一致し、最短経路を盤面で再生すると同じ玉数のまま解けます。面白いのは、それぞれの証明にどれだけの状態を要したかです。

むずかしいは展開が最も少ない。逆に見えるのは理由がわかるまでで、選ぶ余地がほとんどないからです。満杯の管 5 本と空 1 本なら、初手はちょうど 5 通り、木は最後まで細いままです。やさしい・ふつうは空の管が 2 本あり、両方が駐車場になるので木が広がります。レベル 8 で 10,200 状態、レベル 12 では 199 状態です。

実用的な結論は 2 つ。

• ここでの高い par は大きな探索を意味しません。 玉を 1 個ずつ動かすしかなく、余計に 1 回動かせば 1 手増える、という盤面だという意味です。par は長さであって難易度の点数ではありません。
• ヒントはビルドにとって安い。 ソルバーの上限は 250,000 状態。公開レベルで必要な最大の探索は 10,200、初手が死んでいることの証明は最大 7 展開でした。この 12 レベルでは上限に一度も触れません。

3. 「1 手 1 個」は問題そのものを変える

同じ盤面の一族です。各色 4 個、管の容量 4、玉は空の管か同じ色の上にしか置けない——ただし規則が 1 つ違います。1 手で運ぶのは1 個だけで、上に乗っている同色の並びをまとめては運びません。Playnesta の Water Sort Puzzle はまとめて動かしますが、Ball Sort は動かしません。

この規則の値段を測るため、プローブは同じ 12 の配りを「注ぎ」ソルバーで解きました。容量も色の規則も同じで、1 手で min(上の並び, 空き) 個をまとめて運びます。

同じ 12 の配りが、1 個ずつの形では 55 手多くかかります。199 手のうち 27.6% です。差は段階とともに広がり、レベルあたり 1.08〜1.79 倍、むずかしいは同じ盤面の注ぎ版より 1.5〜1.8 倍近く長くなります。

理由は配りそのものに現れています。注ぎ遊びは、同色の玉が実際に接しているときだけまとめが効きます。接している組のうち同じ色なのは、やさしいで 16.7%、ふつうで 14.1%、むずかしいでは 5.0%。むずかしいではほぼすべての玉が別の色の上にいるので、「まとめて注ぐ」はたいてい 1 個を注ぐことと同じです。

この規則が買っているのは自由です。並びを意図的に崩してよい。 管の上に青が 2 個あれば、1 個だけ持ち上げて駐車し、残りを別の用途に使えます。注ぎ遊びにはこの手は存在しませんが、ここでは合法で、しばしば必要です。むずかしいが 20 個で par 22〜27 なのはそのためで、解は「各個を 1 回ずつ片付ける」ではなく「色が揃うまで盤面を組み替える」ことになります。

4. 空の管こそ希少資源

むずかしいの空間を数えてみてください。満杯の管 5 本が 5 色分を抱え、空の管が 1 本。それが作業空間のすべてです。したがって開始位置の合法手はちょうど 5 手で、そのすべてが同じ空の管へ玉を入れる手です。

この一事で戦略の組み立てが変わります。

• 空の管は 1 回きりの予算。 そこに玉を駐車すると、出すまで管は塞がります。出せるのは同じ色か別の空の管ができたときだけ。むずかしいには別の空の管がありません。
• 初手の誤りが致命傷になりやすい。 むずかしいでは、合法な初手 20 手のうち 7 手（35.0%）が解けない位置を残します。やさしい・ふつうは 0 手（24 中 0、32 中 0）ですが、やさしいの 24 手中 4 手、ふつうの 32 手中 10 手は par より遅い手です。

2 本目の空の管も小さな親切ではありません。プローブは形ごとに一様ランダムな盤面を 200 個配り、すべて解きました。

5 色で予備の管が 1 本だけのランダム盤面は、触る前に 4 分の 3 が死んでいます。生成器はそれを捨てます。公開しているむずかしい 4 面を見つけるのに 45 回シャッフルが必要で、45 回のうち 37 回は解なしでした。むずかしいがふつうと別物に感じるのは、単に長いからではなく、ほぼ一本道だからです。

実用の読み方：むずかしいでは、初手は見せる以上に決めます。 「盤面を眺めるため」に空の管を使ってはいけません。すぐ上に重ねる玉を運ぶために使いましょう。

5. 実測された開幕の規則：上に 2 回出ている色を動かす

空の管が希少資源なら、どの玉にその権利があるかが問題になります。プローブは最も自然な候補——すでに 2 本の異なる管の最上段になっている色——を、他のすべての初手と比べました。

まず公開されているむずかしい 4 面を手で確認します。どれも満杯の 5 本が何かの色を戴いて始まり、4 面すべてで勝てる開幕は2 本の管の上に出ている色でした。

4 例は証拠にならないので、プローブは一様ランダムで解ける 5 色・空 1 本の盤面を 150 個配り、合法な初手を「その色が 2 本以上の管の上にあるか」で分類しました。

差は大きく、手作業の確認と同じ向きです。解けるむずかしい盤面の 89.3% に上段重複の色が少なくとも 1 つあり、抽出した 150 面のうち 126 面には、レベルを解ける状態に保つ上段重複の手がありました。

盤面の言葉でなぜ効くか：2 本の管を戴いている色は、盤面を悪くせずに集められます。1 個目を空の管へ、2 個目をその上へ重ねれば、管はその色を保ちます。1 本だけ戴いている色は、集める前にどこかへ退避させる必要があり、むずかしいではその退避先が、後で必要になるあの空の管しかないのです。

ふつうの形（4 色・空 2 本）でも同じ規則は効きますが、賭け金はありません。上段重複の手は 88.5% が最適（1 回だけは 61.8%）で、どの初手も致命的ではありませんでした（上段重複 624 手、1 回だけ 576 手）。2 本目の空の管が誤りを吸収するからです。

注意：これは初手について、開始位置で測った規則です。アルゴリズムではなく、盤面が独自の意見を持つ 3 手目から 10 手目については何も言いません。

6. 致命的な手はどんな形か

このゲームでは「合法」と「安全」は別の言葉です。1 つの盤面がその差を具体的に示します。

レベル 12 はこう始まります（下から上へ、管 6 は空）。

1: 1 2 4 3     2: 2 3 2 3     3: 1 3 1 0
4: 4 0 4 2     5: 4 0 0 1     6: (空)

合法な初手は 5 つ、すべて管 6 へ。4 つは最適か、遅いが生き残れます。1 つは違います。管 4 の 2 を管 6 へ移すと、

1: 1 2 4 3     2: 2 3 2 3     3: 1 3 1 0
4: 4 0 4       5: 4 0 0 1     6: 2

合法手はゼロになります。残った満杯の管はどれも、他に上段で現れない色を戴いており、唯一の空の管には行き場のない 2 が座っています。このレベルは初手で終わりです。「クリアが難しい」のではなく、元に戻すを押すまで何もできない位置、という文字どおりの意味で。

レベル 9 はより頻繁な、穏やかな版です。

1: 3 1 2 4     2: 0 4 1 2     3: 0 3 0 2
4: 1 4 3 4     5: 3 2 1 0     6: (空)

管 1 の 4 を管 6 へ移すと、合法手はまだありますが、どれもどこにも通じません。探索は 7 展開でこの盤面を死と証明し、ページのヒントも率直に告げます（「No solution from here — undo a move.」）。代わりに管 2 か管 3 の 2 を移せば、盤面は最短経路上に乗ります。par 26 に対して残り 25 手です。

これが 1 手先を読む理由のすべてです。ページが厳しいからではなく、むずかしいの合法な開幕の 35% が、手の形をした罠だからです。

7. 手はいつも巻き戻せるわけではない——だから元に戻すはスナップショット

多くのスライド系パズルでは、同じ駒を逆に動かせば 1 手戻せます。ここではしばしば戻せません。管 A から出た玉が A に戻れるのは、A がいま空か、A の新しい最上段が同じ色のときだけです。

プローブは各レベルの最短解の中間盤面でこれを測りました。答えが最も重要な場所です。

• その中間位置で使える合法手 37 手のうち、同じ手を逆向きに指して戻せたのは 18 手（48.6%） だけでした。
• 最初に空にする管がたいてい痛いところです。そこから出た玉はまさに戻ってくる玉で、空のあいだはどの色も受け入れるので逆向きは成立します。しかし別のものを入れた瞬間、元の玉の戻り先は消えます。

ビルドの答えは逆向きの手ではなく、スナップショット式の元に戻すです。玉を動かすたびに盤面全体をスタックに積み、元に戻すはそれを取り出して手数を 1 減らします。費用はかかりません。ヒントを消費せず、星の表にも触れず、どのレベルでも止められません。スタックに深さの上限はないので、開始位置まで戻れます。

そこから 2 つの習慣が出ます。

1. 当て推量の前に戻す。 プローブではランダム対局の 30.2% が解なしの位置で終わりました。元に戻すは、その結末と「レベルを失う」ことの差そのものです。
2. 「いつでも戻せる」を当てにしない。 半分の場合は戻せず、残った盤面は元の問題ではなく新しい問題です。

8. 解くほど盤面は狭くなる

各レベルの最短解に沿って合法手を数えると、意思決定の負荷がどう変わるかが見えます。

• やさしい・ふつうの経路はほとんどの手で 3〜8 の合法手があり、ふつうの 4 経路のうち1 か所（レベル 6）だけが合法手 1 手、やさしいは 0 か所でした。
• むずかしいの経路は 1〜5、中央値 2。むずかしいの 4 解で、100 か所のうち 27 か所が合法手ちょうど 1 手でした。レベル 11 だけで 9 か所あります。

つまりむずかしいは「選択肢が多くて選びにくい」のではなく、回廊です。最初は 5 つから選び、数手後はたいてい 1〜2 から選びます。むずかしい解の中盤はほぼ強制です。

この抽出では、中間位置で使える合法手 37 手のうち致命的なものは 1 つもありませんでした。危険は両端に住んでいます。管がまだ混色で満ちている開幕と、玉が「この色は今後どこに住むのか」を決めねばならない瞬間です。

実用の読み方：注意力はレベルの序盤に使う。 終盤はほぼ算数（色の残り数を数え、空きを数える）で、ページは手を打たせてくれます。開幕がレベルの勝ち負けを決めます。

9. 星が測るのは最適性で、速さではない

このビルドにタイマーはありません。星の表が読む数字は 1 つ、あなたの手数をレベルの par と比べるだけです。

par は最小値なので、「手数 ≤ par」は「手数 = par」しか意味しません。つまり三星は、最短解を見つけたという主張であって、速かったという主張ではありません。二星の帯では 5 手まで無駄にできますが、6 手目で二つ目の星が消えます。

ヒントはこの表に触れません。勝利カードは使ったヒント数を印字し（「3 手 · par 10 · ヒント 1」）、ヒント回数は記録と一緒に保存されますが、starsFor(moves, par) はそれを読みません。手数を par に保てば、ヒントをいくら使っても三星です。

「当たり前のやり方」の価値は測ってあります。

• 貪欲な規則——完成した管を優先して埋める、無理なら同色の上に置く、それも無理なら空の管を使う——は 12 面中 2 面（レベル 2 は 12 手で par 10、レベル 6 は 17 手で par 14）。残り 10 面は par の 3 倍の予算内で行き詰まります。規則が間違いなのではなく、足りないのです。
• ランダムな合法手による対局は、シード付き 3,600 局のうち 361 局（10.0%）が解けました。やさしい 13.8%、ふつう 8.4%、むずかしい 7.9%。そして全対局の 30.2% が解なしの位置で終わりました（むずかしいでは 86.9%）。

つまり星の評価は、本当に解いていたかどうかを正しく測ります。ほどほどの発見的手法は、三星を一度も与えないまま遊ばせ続けるのです。

10. 操作、URL 固定、ページが保存するもの

• 管をタップすると最上段の玉を持ち上げ、管をタップすると下ろします。同じ管をもう一度タップすると、手数を消費せずに戻ります。満杯の管や違う色は短い震えとステータス行の理由で拒否されます。
• キーボード：1〜9 で管を選択、U で元に戻す、H でヒント、R でやり直し、矢印キーでレベル移動。
• ?level= で開始位置を固定します。1〜12 の数字か段階名（?level=hard はレベル 9 から）。認識できない値はレベル 1 に落ちます。シードはありません。配りが固定なので、同じ URL は常に同じ盤面です。
• 記録はレベルごとの最良手数で、このブラウザの pn.ball-sort.best.v1 に保存されます。どこにも送信されません。サイトデータを消せば記録も消えます。
• 計測ブリッジは game_load、盤面への最初の操作で game_start、その 60 秒後に game_60s、プレイ後にレベルを変えると game_restart、レベルを解くと game_win を送ります。game_lose はありません。死んだ盤面は敗北ではなく、元に戻せる位置です。

11. 1 分チェックリスト

1. 動かす前に空の管を数える。2 本なら試せる、1 本なら初手がほぼレベル全体。
2. 上段を見る。2 本の管の上にある色は自然な開幕、1 本だけの色はたいてい「退避させられた問題」。
3. 最後の空の管に「見るため」の玉を駐車しない。すぐ重ねる玉を駐車する。
4. むずかしいでは毎手の前に問う：いま空けようとしている管は、次に何色を受け入れるか。答えが「何も」なら、たぶんレベルを終わらせたところ。
5. ヒントが解なしと言ったら戻す。存在しない妙手を探さない。
6. 手数と par を見ながら進む。par+5 が二星の最後の機会、par が三星への唯一の道。
7. 合法手が 1 つだけになったら、それを打って数え直す。強制区間はたいてい次の色が揃う数手前で終わる。

FAQ

Ball Sort の遊び方は？

管をタップして最上段の玉を持ち上げ、下ろしたい管をタップします。玉は空の管か、同じ色の玉の上にしか置けません。満杯の管と違う色は拒否されます。すべての管が空か、1 色 4 個になったらクリアです。このビルドは 12 レベル：やさしい（3 色・予備の管 2 本）、ふつう（4 色・予備 2 本）、むずかしい（5 色・予備 1 本）。

par とは何で、どこから来る？

par はそのレベルを解く最小の合法手数で、公開前に、ページが使う移動集合そのものに対する幅優先探索で計算されます。見積もりでも設計目標でもありません。プローブが固定ライブラリで同じ探索を再実行し、12 個の par がすべて一致しました。11、10、10、11（やさしい）、14、14、14、15（ふつう）、26、27、25、22（むずかしい）。192 個の玉に対して 199 手です。

なぜ注ぎ（ウォーターソート）版より難しい？

1 手で運ぶのが 1 個だけで、同色のまとまりを丸ごと運ばないからです。同じ 12 の配りを注ぎの手で解くと 55 手少なく（全体の 27.6%）、むずかしいでは 1 個ずつの形が 1.5〜1.8 倍長くなります。戦略も変わります。管を空けるために積みを意図的に崩せる——注ぎ遊びにはない手です。むずかしいの配りでは、接している玉の組で同じ色なのは 5% だけなので、「まとまり」はたいてい 1 個です。

最良の初手は？

すでに 2 本の異なる管の最上段になっている色を動かします。1 個を空の管へ、もう 1 個をその上へ重ねます。解ける 5 色・空 1 本のランダム盤面 150 面では、上段重複の手は 17.7% が致命的（1 回だけは 55.4%）、最適は 78.3%（1 回だけは 7.6%）でした。公開しているむずかしい 4 面もすべてこの開き方です。これは初手についての規則で、レベル全体のアルゴリズムではありません。

1 手で解けない盤面になったのはなぜ？

むずかしいでは、合法な初手 20 手のうち 7 手が解なしの位置を残すからです。レベル 12 が最も明確で、管 4 の 2 を空の管へ移すと合法手がゼロになります。残った最上段の玉はどれも置き場所がありません。壊れてはいません。このゲームでは「合法」と「生き残れる」が別のことで、元に戻すがそのための仕組みです。

ヒントは星を減らす？

いいえ。starsFor(moves, par) は手数と par だけを読みます。par ちょうどで三星、par+1〜par+5 で二星、それ以外は一星です。ヒントは数えられて勝利カードに印字され（「ヒント 1」）、解なしのメッセージもヒントの一種ですが、星の表はその回数を見ません。

「No solution from here — undo a move」とは？

ソルバーがあなたの盤面から到達できる範囲をすべて調べ、解ける状態への経路が見つからなかったという意味です。だからヒントは作話を拒みます。ヒント回数の上限ではなく、本当の行き止まりです。公開レベルでは、解くのに必要な最大探索が 10,200 状態、位置が死んでいることの証明が最大 7 展開で、どちらもソルバーの上限 250,000 のはるか下です。元に戻すを使ってください。

どの手でも元に戻せる？

何手でも戻せます。元に戻すは盤面のスナップショットを 1 枚取り出し、手数を 1 減らします。費用も上限もありません。当てにできないのは同じ手を逆向きに指して戻すことです。12 の最短解の中間位置では、合法手 37 手のうち 18 手だけがその方法で戻せました。玉が元の管に戻れるのは、その管が空か、同じ色を戴いているときだけだからです。

むずかしいは実際どれくらい難しい？

むずかしいは 6 本の管に 20 個、空の管は 1 本、par 22〜27。最短解上の 100 か所のうち 27 か所は合法手がちょうど 1 手です。ランダムな対局はむずかしいの 7.9% しか解けず、86.9% が解なしで終わりました。5 色・空 1 本のランダム盤面は 4 面に 3 面が最初から死んでいて、生成器は公開する 4 面のために 45 回シャッフルしました。難易度というよりジャンルの変更です。

タイマーはある？ レベルは増える？

タイマーはありません。採点される数字は par に対する手数と、勝利カードに印字されるヒント数だけです。最良手数はレベルごとにこのブラウザにだけ保存されます。ライブラリは 12 面で固定なので、13 面目を生成することはできません。同じ一族をもっと遊びたいなら、Playnesta の Water Sort Puzzle は注ぎの手を使い、Number Mosaic は「置く前に証明する」という同じ習慣の推論パズルです。