点格棋策略：链、送格与收官怎么算（2026）
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js/engine.js（Playnesta 原创，MIT），页面外壳是 js/main.js；本场重跑了 79 项无头 harness，另用策略探针在每种棋盘上重放 400 局中等对中等，并构造两个小残局核对送格算术。线上两个文件的 sha256 与本地逐字节一致（engine.js 47162313…、main.js a7de46be…）。游戏页讲操作和规则；这篇是策略层：当每条线看起来都安全时该选哪条、一个三边格到底值多少、以及为什么残局在棋盘看起来还空的时候就已经定了。点格棋是 Édouard Lucas 于 1889 年以 La Pipopipette 之名发表的公共领域纸笔游戏；名字是通用描述，不是本站的商标。
1. 棋盘是一份边数预算：40、60 或 84 手
在同一个棋盘上，一局棋的手数正好等于棋盘的边数。每一手只画一条还没画过的边，别的什么都不做，所以不管双方怎么下，棋盘都按固定速度填满。
| 棋盘 | 格数 | 边数 | 总手数 | 能平局吗？ |
|---|---|---|---|---|
| 4×4 | 16 | 40 | 40 | 能——16 是偶数 |
| 5×5 | 25 | 60 | 60 | 不能——25 是奇数 |
| 6×6 | 36 | 84 | 84 | 能——36 是偶数 |
两条规则让这些手数产生不同后果。补上方格第四条边就会占下这一格，而占格保留回合；没占到格的一手则把回合交给对方。两个相邻方格都只剩三条边、并且共用同一条缺边时，一条线可以同时占下两格。整局游戏就是这些：40、60 或 84 次「只画一条边」的决定，其中一些保留回合，一些交出回合。
默认棋盘是 5×5、中等。上方按钮切换尺寸和对手；URL 可以钉住它们，例如 ?size=6&level=hard&seed=7。棋盘是正方形，格距 100 px，放在带留白的正方形舞台里；换尺寸时页面会重建整张 SVG。
2. 送格的真实代价：一格、两格，还是一条链
一个已经画好三条边、还没有主人的方格是一个礼物：谁补上第四条边，谁就占下它并保留回合。真正重要的不是这一格，而是那个额外回合。如果这个回合又补上了下一格，礼物就不会只送一格。
两个相邻的三边格可以共用同一条缺边。在这种局面下，一条线会同时占下两格。策略探针在 4×4 棋盘上构造了正好这个形状：0 号和 1 号方格都只有三条边，共用中间那条缺掉的竖边。画下这一条线，引擎返回 boxes: [0, 1]、extra: true，比分从 0–0 一下跳到 2–0。
在普通的中等对中等对局里，这不是罕见的奇观。探针统计了所有「一条线占两格」的落子：
| 棋盘 | 每局两条线占两格的次数（400 局） | 总计 |
|---|---|---|
| 4×4 | 0.32 | 129 |
| 5×5 | 0.51 | 202 |
| 6×6 | 0.80 | 320 |
所以策略层第一条规则很简单：除非所有合法落子都会造成三边格，否则不要主动造出三边格。三边格不是一条中性的线，而是一张签了名的支票。两个共用一条边的三边格，就是一张签名相同的两格支票。
3. 链：开最短的那条，不是最近的那条
链是一组方格，一旦被打开，就能在一个回合里被连续拿走。占格保留回合，所以一条长度为 L 的链，就是 L 格归那个开始吃的人。探针在一段构造出来的 4×4 横排上验证了算术：三格链用三次占格吃掉，单个三边格用一次吃掉。开一条长 3 的链和开一条长 1 的链，代价差是 2 格，不是 1 格。
所以「开离我最近的链」是错的本能。当棋盘上一个自由格都没有时，你被迫下一手「安静棋」，它会造出一个三边格；你唯一能选的是造哪一个。开那条送格最少的链，哪怕它在棋盘另一头。
开链的实测代价比大多数人想的大。探针把开链定义为：在一个自由格都没有的时候，下一手不占格的棋，并且这手棋之后至少出现一个自由格；然后统计对手在不得不开下一条链之前，一共吃掉了多少格。
| 棋盘 | 每局开链次数 | 每次开链平均送掉的格数 |
|---|---|---|
| 4×4 | 3.9 | 4.1 |
| 5×5 | 5.2 | 4.8 |
| 6×6 | 6.8 | 5.3 |
这些平均值来自中等对中等的对局，所以描述的是这个 build 的对手，而不是完美博弈。但它们足以说明问题：所谓「送一格」，通常是一串四到五格的开始。谁先被迫开第一条链，往往就在这个决定上输掉整局。
线上对手只部分看见这件事。中等用一手深度的 giftCost 给每一手安静棋打分：它数这手棋会造出几个三边格，再给每个「已经挨着另一个自由格」的新三边格加一分。它看不见一条两格深的走廊会在第一次吃子之后变成链。困难会对每条候选线把剩下的棋盘走完，所以对长链的估值更准。两档都不走双交叉（故意留两格，让对手被迫去开下一条链），所以你打开的链通常会被吃到尾。
4. 为什么「先补外圈再补角」是错觉
初学者常有一个计划：先把外圈和角的线画掉，「留着」中间，最后再开始收格。棋盘不会配合。每一手正好增加一条边，而游戏只有在所有边都画完时才结束。总共就是 40、60 或 84 手；你没法把一条边留到以后，也没法靠先画角来改变总数。
真正会变的是占格手和不占格手的比例。占格手保留回合，所以一串连续占格可以在回合易手之前拿走好几格。探针在 400 局中等对中等里测到的不占格比例是：
| 棋盘 | 平均不占格手数 | 占总手数 |
|---|---|---|
| 4×4 | 40 手里的 24.32 | 60.8% |
| 5×5 | 60 手里的 35.51 | 59.2% |
| 6×6 | 84 手里的 48.80 | 58.1% |
大约每五手里有三手会把回合交出去。所以这局棋是一个节奏问题：谁被迫先下那手造出自由格的安静棋，以及这次开链会送掉多少格。外圈和角不是资源；落子顺序才是。
5. 平局、奇偶和最后一格：16、25、36 各自决定了什么
格数决定平局是否可能。平局要求双方最后一样多，所以总格数必须是偶数。4×4 有 16 格，6×6 有 36 格，两者都可能打平；5×5 有 25 格，所以一定有人赢。
探针每种棋盘 400 局中等对中等的读数说明平局不是理论上的：
| 棋盘 | 先手赢 | 电脑赢 | 平局 |
|---|---|---|---|
| 4×4 | 193（48.3%） | 137（34.3%） | 70（17.5%） |
| 5×5 | 164（41.0%） | 236（59.0%） | 0 |
| 6×6 | 201（50.3%） | 179（44.8%） | 20（5.0%） |
最后一格不是固定归先手的。在同一批 400 局里，先手拿到最后一格的次数是：4×4 301 次、5×5 136 次、6×6 242 次。5×5 的读数是最有用的更正：这个棋盘不能平局，但最后一格可以归任何一方。不要按「最后一格一定属于先手」来计划；引擎里没有这条规则，实测里也没有。
奇偶确实决定一件事：5×5 上不可能出现平局比分。只剩一格时，最后一格被占之前的比分要么是 12–12，要么相差偶数；最后一格被占之后，最终比分仍然不等。任何合法落子序列都无法把 25 格分成两个相等的总数。
6. 三档电脑，直接读线上代码
三档不是三套不同规则，而是在同一批合法落子上用三种不同的搜索预算。
| 档位 | 一个回合里做什么 | 已知上限 |
|---|---|---|
| 简单 | 有可占的格时，75% 会去占；否则 60% 随机选一手不占格的安静棋；再否则随机选合法落子。 | 它可能放着一格不拿。 |
| 中等 | 吃掉所有自由格。没有可占格时，选一手深度 giftCost 最小的棋；同分随机。 |
只看见一手棋会造出的三边格，加上紧挨着的自由邻居。 |
| 困难 | 最多抽 26 条合法候选线，用中等策略把双方剩下的棋盘走完，保留终局分差最好的一条。 | 仍然是一手深度的抽样＋推演，不是已解表，而且从不走双交叉。 |
实战里有两个细节重要。第一，中等一定会吃掉自由格。你留下一个三边格，它就会占；而占格保留回合，所以它会一直占到没有自由格为止。第二，困难的候选样本上限是 26。6×6 满盘有 84 条合法边，所以开局第一手是从样本里选的，不是从 84 条里全选。种子固定的是样本和同分选择，不是让搜索变穷举。这个上限有一个可测的后果：当棋盘很宽、又存在自由格时，抽样可能根本没抽到那条能占格的线。每种棋盘构造 40 个至少有一个自由格的中盘局面，困难档分别有 14 次（4×4）、26 次（5×5）、32 次（6×6）没有去占那个自由格。占自由格严格优于不占——你得分并保留回合——所以这是抽样推演的误差，不是可以照抄的策略。
提示按钮用困难策略，但用的是 Math.random，不是带种子的随机数。所以固定种子的一局里，电脑的回应可复现，提示却不可复现。提示只标出一条线，计入本局提示次数，从不替你画线，也不改比分。
7. 每一手都能跑的检查清单
玩好这个 build 不需要计时器，也不需要求解器。每一手按同样六步检查：
- 吃掉所有自由格。 比分是格数，不是姿势。一个格有三条边，就补上第四条并保留回合。
- 数清还剩什么。 连续吃子结束后，数剩下的格和它们组成的链。棋盘小到可以数清；16、25、36 都不是大数。
- 没有自由格时，开最短的链。 不是最近的，也不是「看起来安全」的。数清楚它会送掉几格。
- 避免造出三边格，尤其是共用一条边的两个三边格。 一个三边格是礼物；两个相邻且共用缺边的三边格，是一条线送两格。
- 看比分，不要看形状。 棋盘再漂亮，格数少就是输。唯一重要的数字是差值。
- 提示只用在「选哪条链」的时刻。 棋盘安静、你要决定开哪条链时最有用；更早用提示，只是把同一次提示花在你自己已经看得见的落子上。
一个算例能把算术变具体。假设 4×4 上比分 6–6，还剩四格，分成一条长 1 的链和一条长 3 的链。如果你先开长 1 的，电脑吃掉 1 格（6–7），然后它必须去开长 3 的；你吃掉 3 格，9–7 赢。如果你先开长 3 的，电脑吃掉 3 格（6–9），然后去开长 1 的；你吃掉 1 格，7–9 输。同样四格、同样棋盘，结果相反——唯一区别是你先开了哪条链。
8. 提示、重开和本地记录
页面的控件刻意做得很小。提示会按困难策略标出一条线，并给本局提示计数加一；它不画线、不改比分，在电脑思考时或棋局结束后也不能用。重开会用同样的尺寸和档位重新开始；没有悔棋，所以点错就是一手真实落子。规则按钮打开规则说明，声音按钮开关合成音效。
记录只存在本地。每个棋盘尺寸和档位下的胜、负、平分别保存在这个浏览器的 pn.dotsAndBoxes.v1 里，连同声音设置。不上传任何东西，也没有账号。换浏览器、开隐私窗口或清除站点数据，都会从零开始。URL 里的 size、level、seed 固定棋盘、对手和电脑的同分选择；seed 不固定提示。
手机上页面能放进 348×261 的舞台而无需滚动：每个控件至少 22 px 高，棋盘保持正方形。894×670 的桌面舞台上，棋盘至少 560 px 见方。按住拖动会预览手指下的线，松手时的那条线才会被画上。
9. 这篇指南不声称什么
这是一篇针对某个线上 build 的策略指南，不是证明。它不发布 6×6 的必胜策略、不发布已解表，也不声称困难档完美。困难对手是用中等策略做 26 条候选推演，它会被打败，而且它不走双交叉。中等对手按设计就是贪心的，你留下的每个自由格它都会拿走。上面的数字描述的是这些策略，不是最优玩家。
本文也不做人群声明。这里没有「平均水平玩家」的百分位，因为页面没有测量过玩家。页面唯一能诚实做的比较，是你在同样尺寸和档位下的自己的记录。
FAQ
点格棋的最佳策略是什么？
先吃掉所有自由格，再数剩下的链，开最短的那条。最常输棋的两个习惯是：留下一个三边格，以及在有短链时先开长链。在这个 build 里，困难对手会惩罚这两种做法；中等对手会吃掉所有自由格，但在必须送格时只看一手。
点格棋怎么赢？
棋盘填满时格数更多就赢。残局由「谁被迫先开第一条链」和「这条链送掉几格」决定。在探针的中等对中等对局里，一次开链平均送掉 4.1 格（4×4）、4.8 格（5×5）、5.3 格（6×6），所以第一次被迫送格通常就是决定性的。5×5 一定有人赢；4×4 和 6×6 可以平局。
点格棋里的「链」是什么？
链是一组方格，一旦被打开，就能在一个回合里被连续拿走。占下一格会保留回合，所以长度为 L 的链，对开始吃的人来说就是 L 格。因此长 3 的链比长 1 的链多花 2 格。这个 build 的中等对手只看链的第一手；困难会先把剩下的棋盘走完再选。
点格棋可以平局吗？
4×4 和 6×6 可以，因为 16 和 36 是偶数。5×5 不可以，因为 25 是奇数。400 局中等对中等里，平局率是 4×4 17.5%、5×5 0%、6×6 5.0%。平局是真实结果，不是 bug；结果卡会显示，本地记录也会单独计数。
点格棋里的电脑会作弊吗？
不会。电脑看到的是和你一样的棋盘，也只能从同一批合法落子里选。简单档是带占格偏好的随机；中等档是只看一手送格成本的贪心；困难档最多抽 26 条候选，再用中等策略推演。困难更强，但不是全知：它不走双交叉，样本也有上限。
提示按钮到底做什么？
提示会让困难策略给出一手，并标出那条线。它会计入本局提示次数，但不画线、不改比分、也不结束你的回合。它只在你的回合、电脑不在思考、棋局还没结束时可用。因为它用 Math.random，带 ?seed= 的 URL 能固定电脑回应，但固定不了提示。
6×6 点格棋有必胜策略吗？
这篇页面不发布必胜策略，也不依赖已解表。这里的建议是实测出来的启发式：数链、开最短的、避免造三边格和共用边的三边格对。困难对手是 26 条候选的推演，不是最优博弈的证明，所以会数残局的人仍然能赢它。
为什么电脑会把整条链都吃掉？
因为占格保留回合。一条链被打开后，每次吃子都还是同一个人走，所以中等档会一直吃自由格，直到一个不剩。困难档通常也这样，但它的 26 条候选样本在宽棋盘上可能漏掉一条能占格的线；这是策略的误差，不是规则。想打断连续吃子的人会用双交叉，而三档都不走它。
为什么页面说 5×5 不能平局？
因为棋盘有 25 格，而最后每一格都只属于一个玩家。奇数总数没法分成两个相等的整数。最后一格仍可能归任何一方；不能平局说的是总数，不是谁先走。